Questão 1

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007)

Se A, B e C forem conjuntos tais que $n (A cup B)=23$ , $n (B-A)=12$ , $n (C-A)=10$ , $n (B cap C)=6$ e $n (A cap B cap C)=4$ , então $n (A)$ , $n (Acup C)$ , $n (Acup Bcup C)$ , nesta ordem

formam uma progressão aritmética de razão 6.

formam uma progressão aritmética de razão 2.

formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo primeiro termo é 11.

formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31.

não formam uma progressão aritmética.

Gabarito:

formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31.

Resolução:

$n(Acup B) = n(A)+n(B)- n(A cap B) =23$ Equação I

$n(B-A)= n(B)- n(A cap B) =12$ Equação II

$n(C-A)= n(C)- n(A cap B) =10$ Equação III

$n(B cap C) = 6$

$n(A cap B cap C) = 4$

Substituindo a equação II na equação I:

$n(A) +12= 23$

$n(A) =11$

Encontrando a união de A e C através da equação III:

$n(A cup C) = n(A)+ n(C)-n(A cap C) = 11 + 10 = 21$

Encontrando a união dos três conjuntos:

$n(A cup B cup C) = n(A)+ n(B) +n(C)-n(A cap B)-n(A cap C) - n(B cap C)+ n(Acap B cap C)$

$n(A cup B cup C) = 11 + n(B)-n(A cap B) + n(C)-n(A cap C) - n(B cap C) + n( A cap B cap C)$

Subsituindo as equações II, III e os valores dados:

$n(A cup B cup C) = 11 + 12 + 10 - 6 + 4 = 31$

Logo, os termos dados são 11, 21 e 31. Uma PA de razão 10 com último termo 31.

Alternativa D.

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