Questão 8

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 1a Fase)

Sejam x e y dois números reais tais que e^x, e^y e o quociente são todos racionais. A soma x+y é igual a

2 log₅ 3

log₅ 2

3 log_e 2

Gabarito:

3 log_e 2

Resolução:

Veja que em cada lado da igualdade temos um número racional e um irracional , formando um irracional composto.

No entanto, sabemos que a parte racional só pode ser igual a parte racional, e parte irracional só pode ser igual a parte irracional. Sendo assim, podemos igualar termo a termo.

O termos que dependem da parte irracional (dependem de $sqrt{5}$ ) precisam se anular (pois os racionais não possuem como anular irracionais), logo os termos que dependem desse parâmetro dos dois lados da igualdade precisam ser iguais. Assim, os racionais que sobraram precisam ser iguais dos dois lados da igualdade.

Seja k um número RACIONAL:

$\frac{e^x-2sqrt{5}}{4-e^ysqrt{5}}=k;;Leftrightarrow ;;;e^x-2sqrt{5}=kcdot (4-e^ysqrt{5})\\\ herefore e^x=4cdot k;;;;;e;;;;;;2sqrt{5}=kcdot e^ysqrt{5}\\\e^x=4cdot k;;;;;;;;e;;;;;;;; e^y=frac{2}{k}\\\ extrm{Multiplicando;ambos:}\\e^xcdot e^y=4kcdot frac{2}{k};;;;;Rightarrow e^{x+y}=8;;;;;;;;ln e^{x+y}=ln 8\\x+y=ln2^3;;;;;;Rightarrow x+y=3ln2$

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