Questão 2

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 2ª fase)

Determine as raízes em $mathbb{C}$ de $4z^6 + 256 = 0$ , na forma $a+ bi$ , com $a, , b in mathbb{R}$ , que pertençam a

S = { z $in mathbb{C}$ ; 1 < | z + 2| < 3}.

Gabarito:

Resolução:

Desenvolvendo a equação do enunciado, temos:

$4z^6 + 256 = 0 Leftrightarrow z^6 = -64 Leftrightarrow z^6 = 64(cos ext{ }180^{circ} + icdot sen ext{ }180^{circ})$

Portanto, as raízes dessa equação serão:

$z_{1} = sqrt[6]{64}cdot (cos ext{ }30^{circ} + icdot sen ext{ }30^{circ}) = sqrt{3} + i$

$z_{2} = sqrt[6]{64}cdot (cos ext{ }90^{circ} + icdot sen ext{ }90^{circ}) = 2i$

$z_{3} = sqrt[6]{64}cdot (cos ext{ }150^{circ} + icdot sen ext{ }150^{circ}) = -sqrt{3} + i$

$z_{4} = sqrt[6]{64}cdot (cos ext{ }210^{circ} + icdot sen ext{ }210^{circ}) = -sqrt{3} - i$

$z_{5} = sqrt[6]{64}cdot (cos ext{ }270^{circ} + icdot sen ext{ }270^{circ}) = 2i$

$z_{6} = sqrt[6]{64}cdot (cos ext{ }330^{circ} + icdot sen ext{ }330^{circ}) = sqrt{3} - i$

Agora vamos calcular $|z + 2|$ para cada uma dessas raízes e encontrar quais estão no intervalo pedido. Para facilitar nossos cálculos podemos elevar ao quadrado a desigualdade, $1<|z+2|<3 Leftrightarrow 1<|z+2|^2<9$ , dessa forma teremos que $|z + 2|^2 = |ar{z} + 2|^2$ , sendo assim temos:

$|2 + sqrt{3}pm i|^2 = 8+4sqrt{3}$

$|2 pm 2i|^2 = 8$

$|2 - sqrt{3}pm i|^2 = 8-4sqrt{3}$

Sendo $4sqrt{3} approx 6,93$ , os valores de z encontrados que satisfazem as condições do conjunto S, serão:

$pm2i$ e $-sqrt{3}pm i$

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