Questão 3

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere o sistema Ax = b, em que

$small A=egin{pmatrix} 1 & -2 & 3\ 2 & k & 6\ -1 & 3 & k - 3 end{pmatrix}$ , $small b=egin{pmatrix} 1\ 6\ 0 end{pmatrix}$ e k ∈ IR.

Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e sendo S a soma de todos os valores de k que tornam o sistema possível e indeterminado, então o valor de T – S é

-4

-3

Gabarito:

-4

Resolução:

1) Fazendo o determinante de A:

$egin{vmatrix} 1 & -2 & 3\ 2 & k & 6\ -1 & 3 & k-3 end{vmatrix}=k^2+4k$

2) Com $k^2+4k=0$ , temos que o sistema pode ser possível e indeterminado ou impossível.

3) Logo, quando

$\ k^2+4k=0 Rightarrow k(k+4)=0 \ k_1=0;;k_2=-4$

o sistema pode ser possível e indeterminado ou impossível.

4) Para k=0

$egin{pmatrix} 1 & -2 & 3\ 2 & 0 & 6\ -1 & 3 & -3 end{pmatrix}egin{pmatrix} x_1\ x_2 \ x_3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1\6 \0 end{pmatrix}$

4.1) Desenvolvendo:

$egin{pmatrix}x_1-2x_2+3x_3\ 2x_1+6x_3\ -x_1+3x_2-3x_3end{pmatrix}= egin{pmatrix} 1\6 \0 end{pmatrix}$

4.2) $mathrm{Isolar}:x_1:mathrm{de}:2x_1+6x_3=6:quad x_1=3left(-x_3+1 ight)$

$egin{bmatrix}3left(-x_3+1 ight)-2x_2+3x_3=1\ -3left(-x_3+1 ight)+3x_2-3x_3=0end{bmatrix}$

4.3) $mathrm{Isolar}:x_2:mathrm{de}:3left(-x_3+1 ight)-2x_2+3x_3=1:quad x_2=1$

$-3left(-x_3+1 ight)+3cdot :1-3x_3=0$

$0=0$

4.4) Logo, temos a solução $x_2=1,:x_1=3left(-x_3+1 ight)$ -> Sistema possível e indeterminado

5) Para k=-4

$egin{pmatrix} 1 & -2 & 3\ 2 & -4 & 6\ -1 & 3 & -7 end{pmatrix}egin{pmatrix} x_1\ x_2 \ x_3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1\6 \0 end{pmatrix}$

5.1) Desenvolvendo:

$egin{pmatrix}x_1-2x_2+3x_3\ 2x_1-4x_2+6x_3\ -x_1+3x_2-7x_3end{pmatrix}=egin{pmatrix}1\ 6\ 0end{pmatrix}$

5.2) $mathrm{Isolar}:x_1:mathrm{de}:x_1-2x_2+3x_3=1:quad x_1=1+2x_2-3x_3$

$egin{bmatrix}2left(1+2x_2-3x_3 ight)-4x_2+6x_3=6\ -left(1+2x_2-3x_3 ight)+3x_2-7x_3=0end{bmatrix}$

5.3) $mathrm{Simplificar:}2left(1+2x_2-3x_3 ight)-4x_2+6x_3=6$

-4=0

5.4) Logo, trata-se de um sistema impossível.

6) Com isso, T=-4 e S=0

7) Logo, T – S = -4 - 0 = -4

Questão 3

ITA 2008

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