Questão 6

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) Um diedro mede 120º. A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume $4 pi sqrt{3}$ cm³ que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a

Gabarito:

Resolução:

Seja r o raio da esfera e d a distância da aresta do diedro até o centro da esfera. Vamos utilizar a imagem a seguir para auxiliar na visualização:

Vamos descobrir o valor de r através do volume da esfera:

$\frac{4cdot pi cdot r^3}{3} = 4sqrt{3}cdot pi \r^3 = 3sqrt{3} \r = sqrt{3}$

Logo o nosso raio r mede $sqrt{3}$ cm. Com isso podemos calcular o seno do triangulo interno do nosso quadrilátero, temos:

$sen(60^{circ}) = frac{r}{d} Rightarrow frac{sqrt{3}}{2} = frac{sqrt{3}}{d} Rightarrow d = 2$

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