Questão 8

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere o polinômio p(x) = a₅x⁵ + a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² - a₁, em que uma das raízes é x = -1. Sabendo-se que a₁, a₂, a₃, a₄ e a₅ são reais e formam, nesta ordem, uma progressão aritmética com a₄ = 1/2, então p (-2) é igual a

-25

-27

-36

-39

-40

Gabarito: -25

Resolução:

Seja $r$ a razão da progressão aritmética.

Então temos que os nossos termos serão:

$\a_{1} = a_{1} \a_{2} = a_{1} + r \a_{3} = a_{2} + r \a_{4} = a_{3} + r = frac{1}{2} \a_{5} = a_{4} + r = frac{1}{2}+r$

Como $x=-1$ é raiz do polinômio, temos que:

$\ p(-1) = 0 \ a_{5}(-1)^5 + a_{4}(-1)^4+ a_{3}(-1)^3+a_{2}(-1)^2-a_{1} = 0 \ -a_{5} + a_{4}- a_{3}+a_{2}-a_{1} = 0$

Fazendo algumas substituições, temos:

$\\ -left (frac{1}{2}+r ight )+ (a_{3}+r)- a_{3}+(a_{1}+r)-a_{1} = 0 \\ -left (frac{1}{2}+r ight )+r+r = 0 \\ -frac{1}{2} + r = 0 \\ r = frac{1}{2}$

Logo nossa progressão geométrica é:

$PG = left (-1, -frac{1}{2}, 0, frac{1}{2}, 1 ight )$

Portanto, o polinômio $p(x)$ será:

$p(x) = 1cdot x^5 + frac{1}{2}cdot x^4 + 0cdot x^3 -frac{1}{2} cdot x^2 -(-1)$

Dessa forma $p(-2)$ será:

$\ p(-2) = 1cdot (-2)^5 + frac{1}{2}cdot (-2)^4 + 0 -frac{1}{2} cdot (-2)^2 +1 \ \ p(-2) = -32 + frac{1}{2}cdot 16 -frac{1}{2} cdot 4 +1 \ \ p(-2) = -32 +8 -2+1 \ \ p(-2) = -25$

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