Questão 1

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 2ª fase) Dado o conjunto $A = {x in mathbb{R}, sqrt{3x^2 + 2x}>x^2 }$ ; expresse-o como união de intervalos da reta real.

Gabarito:

Resolução:

Resolvendo a inequação, temos:

$sqrt{3x^2+2x} < x^2 Rightarrow 3x^2+2x < x^4 Rightarrow$

$Rightarrow 0 < x^4-3x^2-2x Rightarrow 0 < x(x^3-3x-2) Rightarrow$

$Rightarrow x(x+1)(x^2-x-2) > 0 Rightarrow x(x+1)(x+1)(x-2) > 0$

Com essa expressão final, podemos realizar o estudo de sinais.

(i) Termo $(x+1)$ : sempre será maior ou igual a zero, assim será positivo sempre que $x eq -1$ .

(ii) Termo $(x)$ : será positivo caso $x > 0$ e negativo $x < 0$ .

(iii) Termo $(x-2)$ : será positivo caso $x > 2$ e negativo caso $x < 2$

Fazendo o estudo dos sinais concluímos que:

Se $x(x+1)(x+1)(x-2) > 0$ então $x eq -1$ e $x < 0$ ou $x > 2$ .

Além disso, temos que o polinômio dentro da raiz tem que ser positivo ou igual a zero, logo:

$3x^2 + 2x geq 0 Leftrightarrow x leq -frac{2}{3}$ ou $x geq 0$

Juntando todas essas informações e reescrevendo como união de intervalos, temos:

$A = ext{ }]-infty; -1[ ext{ }cup ext{ } ]-1;-frac{2}{3} [ ext{ }cup ext{ } ]-frac{2}{3}; infty [$

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