Questão 4

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 2ª fase)

Sejam $alpha ext{, } eta ext{, } gamma in mathbb{R}$ . Considere o polinômio p(x) dado por

$x^{5}-9x^{4}+(alpha-eta-2gamma)x^{3}+(alpha + 2eta +2gamma -2)x^2+(alpha-eta-gamma+1)x+(2alpha+eta+gamma-1).$

Encontre todos os valores de $alpha , eta, e gamma$ de modo que x = 0 seja uma raiz com multiplicidade 3 de p(x)

Gabarito:

Resolução:

Para que $x = 0$ seja uma raiz com multiplicidade 3 do polinômio: $P(X)$ apresentado no enunciado, devemos ter:

$egin{cases} alpha - eta -2 gamma eq 0\ alpha + 2eta + 2gamma -2 = 0\ alpha - eta - gamma +1= 0\ 2alpha + eta + gamma -1 = 0 end{cases} Rightarrow$ $egin{cases} alpha - eta - 2gamma eq 0\ alpha + 2eta + 2gamma = 2\ alpha - eta - gamma = -1\ 2alpha + eta + gamma = 1 end{cases}$

Somando as equações (iii) e (iv), encontramos que:

$3alpha = 0 Leftrightarrow alpha = 0$

Com isso, teremos que:

$egin{cases}- eta -2 gamma eq 0\ 2eta + 2gamma = 2\ - eta - gamma = -1\ alpha = 0end{cases}$

Olhando para (ii) e (iii), vemos que (ii) é igual à (iii) multiplicado por -2. Sendo assim, temos o seguinte sistema:

$egin{cases}- eta -2 gamma eq 0\ eta + gamma = 1\ alpha = 0end{cases} Rightarrow$ $egin{cases}eta eq -2 gamma \ eta = 1 - gamma\ alpha = 0end{cases} Rightarrow$ $egin{cases}gamma eq -1 \ eta = 1 - gamma\ alpha = 0end{cases}$

Se $gamma = k eq -1$ , teremos: $alpha = 0 ext{, } ext{ } eta = 1-k ext{ } ext{ e } ext{ }gamma = k$ .

Questões relacionadas

Questão 1

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de q...

Ver questão

Questão 2

(ITA - 2008 - 1a Fase) Sejam α, β ∈ tais que e . Então α2 +β2 é igual a

Ver questão

Questão 3

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere o sistema Ax = b, em que , e k ∈ IR. Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e sendo S a soma de todos os valo...

Ver questão

Questão 5

(ITA - 2008 - 1a Fase) Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igu...

Ver questão