Questão 50277

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 2 FASE) Seja C uma circunferÍncia de raio r e centro O e $overline{AB}$ um diâmetro de C. Considere o triângulo equilátero BDE inscrito em C. TraÁa-se a reta s passando pelos pontos O e E até interceptar em F a reta t tangente à circunferência C no ponto A. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelo arco $stackrel{frown}{AE}$ e pelos segmentos $overline{AF}$ e $overline{EF}$ em torno do di‚metro $overline{AB}$ .

Gabarito:

Resolução:

A rotação de AEF pelo eixo AB cria um sólido de volume igual à retirada da calota esférica determinada por AME do tronco determinado por AMEF. Dessa forma, o volume pedido será:

$V = V_{tronco}-V_{calota}$

$V_{tronco} = frac{h}{3}cdot(A_B+ A_b +sqrt{A_Bcdot A_b})$

$V_{tronco} = frac{r}{6}cdot left (3pi r^2+ frac{3pi r^2}{4} +sqrt{3pi r^2cdot frac{3pi r^2}{4}} ight )$

$V_{tronco} = frac{21pi r^3}{24}$

$V_{calota} = frac{pi h}{6}cdot(3R^2+h^2)$

$V_{calota} = frac{pi r}{12}cdot left (3left ( frac{rsqrt{3}}{2} ight )^2+left ( frac{r}{2} ight )^2 ight )$

$V_{calota} = frac{5pi r^3}{24}$

Portanto, o volume do sólido gerado será:

$V = V_{tronco}-V_{calota}$

$V = frac{21pi r^3}{24} - frac{5pi r^3}{24} = frac{2pi r^3}{3}$

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