Questão 50279

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 2 FASE) Considere a parábola de equação $y = ax^2 + bx + c$ , que passa pelos pontos (2; 5); (-1; 2) e tal que a; b; c formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Determine a distância do vértice da parábola à reta tangente à parábola no ponto (2; 5).

Gabarito:

Resolução:

Como a, b, c formam uma PA, nessa ordem, temos:

$frac{a+c}{2} = b Rightarrow a+c = 2b Rightarrow a-2b+c = 0$

Aplicando os pontos (2, 5) e (-1, 2) pertencentes à parábola, temos:

$y = ax^2+bx+c$

$5 = 4a+2b+c$ e $2 = a-b+c$

Como nas três igualdades temos os mesmos a, b e c, podemos construir o seguinte sistema:

$egin{cases} 4a+2b+c = 5 \ a - b + c = 2\ a-2b+c = 0end{cases} Rightarrow egin{cases} 4a+2b+c = 5 \ a - b + c = 2\ -b = -2end{cases} Rightarrow$

$Rightarrow egin{cases} 4a+4+c = 5 \ a -2+ c = 2\ b = 2end{cases} Rightarrow egin{cases} 4a+c = 1 \ c = 4-a\ b = 2end{cases} Rightarrow$

$Rightarrow egin{cases} 4a+(4-a) = 1 \ c = 4-a\ b = 2end{cases} Rightarrow egin{cases} 3a = 1-4 \ c = 4-a\ b = 2end{cases} Rightarrow$

$Rightarrow egin{cases} a = -1 \ c = 4-a\ b = 2end{cases} Rightarrow egin{cases} a = -1 \ c = 5\ b = 2end{cases}$

Portanto, a equação da parábola é: $y = -x^2+2x+5$ . Seu vértice terá coordenadas:

$x_{v} = frac{-b}{2a} = frac{-2}{-2} = 1$

$y_{v} = frac{-(b^2-4ac)}{4a} = frac{-(4+20)}{-4} = 6$

V = (1, 6)

Agora precisamos definir a reta tangente no ponto (2, 5). Para isso vamos usar que o coeficiente angular da reta tangente em um ponto P é equivalente à $f(x_{p})$ , onde $f$ é a derivada em relação a $x$ e $x_{p}$ o $x$ do ponto P. Seja m o coeficiente angular, temos:

$f = -2x + 2$

$m = f(2) = -2(2) + 2 = -2$

Agora temos o coeficiente angular e um ponto da reta, sendo assim, a equação será:

$frac{y-y_{p}}{x-x_{p}} = m Leftrightarrow frac{y-5}{x-2} = -2 Leftrightarrow y-5=-2x+4 Leftrightarrow 2x + y - 9 = 0$

Calculando a distância do vértice à reta, temos:

$d = frac{|2cdot1+6-9|}{sqrt{2^2+1^2}} = frac{1}{sqrt{5}}$

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