Questão 15

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) Um subconjunto D de IR tal que a função f : D IR, definida por é injetora, é dado por

(-∞, 1]

[0, 1/2]

(0, 1)

[1/2, ∞)

Gabarito:

[0, 1/2]

Resolução:

Para resolvermos essa questão, vamos trabalhar com os gráficos das funções para podermos analisarmos em quais intervalos a função f será injetora.

O gráfico da função $f_{1} = x^2-x+1$ , será:

O gráfico $f_{2} = ln(x^2-x+1)$

Com esses dois gráficos podemos observar que o ponto de conversão das duas funções fica na reta $x = frac{1}{2}$ , onde está localizado o ponto A que é o vértice da função $f_{1}$ .

O gráfico da função $f(x) = |ln(x^2-x+1)|$ será equivalente ao gráfico de $f_{2}$ , com a parte negativa refletida para o lado positivo do eixo y. Assim, temos:

Agora analisando as alternativas, vemos que o único subconjunto, pertencente aos reais, dos apresentados onde $f(x)$ é injetora será o intervalo $left [0, frac{1}{2} ight ]$ .

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