Questão 20

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) Sejam r e s duas retas paralelas distando 10 cm entre si. Seja P um ponto no plano definido por r e s e exterior à região limitada por estas retas, distando 5 cm de r. As respectivas medidas da área e do perímetro, em cm² e cm, do triângulo eqüilátero PQR cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, são iguais a

A

B

C

D

E

Gabarito:

Resolução:

Com base nas informações dadas pelo enunciado, conseguimos construir a seguinte figura, onde q é uma reta paralela a r e a s, passando pelo ponto P; A é um ponto da reta s e da reta perpendicular a S passando pelo ponto P; B é um ponto da reta s e da reta perpendicular a S que passa por Q, tocando a reta q no ponto C e L é a medida do lado do triângulo equilátero PQR.

Com essa construção surgem três triângulos retângulos, ARP, RBQ e QCP. Logo, temos:

$AR^2 + 15^2 = L ^2 Rightarrow AR = sqrt{L ^2-225}$

$RB^2 + 10^2 = L ^2 Rightarrow RB = sqrt{L ^2-100}$

$PC = AB = AR + RB = sqrt{L ^2-225}+sqrt{L ^2-100}$

Substituindo em $PC^2 + 5^2 = L ^2$ , temos:

$left ( sqrt{L ^2-225}+sqrt{L ^2-100} ight )^2 + 5^2 = L ^2$

$(L ^2-225)+2cdot sqrt{(L ^2-225)(L ^2-100)}+(L ^2-100) + 5^2 = L ^2$

$2L ^2-300+2cdot sqrt{(L ^2-225)(L ^2-100)} = L ^2$

$2cdot sqrt{(L ^2-225)(L ^2-100)} = 300-L ^2$

$2cdot sqrt{(L ^4-325L^2+22500)} = 300-L ^2$

$4cdot (L ^4-325L^2+22500) = 90000-600L ^2+L^4$

$4L ^4-1300L^2+90000 = 90000-600L ^2+L^4$

$3L ^4-700L^2=0$

Seja $L^2 = x$ , temos:

$3x^2 -700x = 0$

$xleft (x - frac{700}{3} ight ) = 0$

$x = 0$ e $x ' = frac{700}{3}$

O único valor de $x$ possível é $frac{700}{3}$ , já que L representa a medida de um lado de um triângulo por isso é maior que zero.

$x = L^2 = frac{700}{3} Rightarrow L = sqrt{frac{700}{3}}$

Com isso temos que a área do triângulo será:

$frac{L^2cdot sqrt{3}}{4} = frac{700}{3}cdotfrac{sqrt{3}}{4} = frac{175sqrt{3}}{3}$

E o seu perímetro:

$3cdot L = 3cdot sqrt{frac{700}{3}} = sqrt{2100} = 10sqrt{21}$

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