Questão 4

ITA 2008

Matemática

(ITA - 2008 - 1a Fase) Sejam A e C matrizes n × n inversíveis tais que det (I + C^-1 A) = 1/3 e det A = 5, onde I é matriz identidade.

Sabendo-se que B = 3(A^-1 + C^-1)^t, então o determinante de B é igual a

Gabarito:

Resolução:

$\\ B=3(A^{-1}+C^{-1})^t\\ ext{Veja que:} \\ (I+C^{-1}A)cdot A^{-1}=(A^{-1}+C^{-1}AA^{-1})=(A^{-1}+C^{-1})\\ det((I+C^{-1}A)cdot A^{-1})=det(A^{-1}+C^{-1})=det(I+C^{-1}A)cdot det(A^{-1})=frac{1}{3}cdotfrac{1}{5}=frac{1}{15}\\ ext{Assim: }$

$\\ detB=det(3(A^{-1}+C^{-1})^t)=3^ncdot det(A^{-1}+C^{-1})^t=3^ncdot det(A^{-1}+C^{-1})=3^ncdotfrac{1}{15}\\ herefore;;oxed{detB=frac{3^{n-1}}{5}}$

Questões relacionadas

Questão 1

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de q...

Ver questão

Questão 2

(ITA - 2008 - 1a Fase) Sejam α, β ∈ tais que e . Então α2 +β2 é igual a

Ver questão

Questão 3

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere o sistema Ax = b, em que , e k ∈ IR. Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e sendo S a soma de todos os valo...

Ver questão

Questão 5

(ITA - 2008 - 1a Fase) Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igu...

Ver questão