Questão 31985

ITA 2009

Matemática

(ITA - 2009 - 2ª fase)

Dadas a circunferência $C: (x-3)^{2}+(y-1)^{2} = 20$ e a reta $r: 3x -y +5 = 0$ considere a reta $t$ que tangencia $C$ , forma um ângulo de 45º com $r$ e cuja distância à origem é $frac{3sqrt{5}}{5}$ . Determine uma equação da reta $t$ .

Gabarito:

Resolução:

Conforme os dados fornecidos pelo enunciado, temos que:

A circunferência $C:(x-3)^2+(y-1)^2 = 20$ tem centro $A(3,1)$ e raio $2sqrt{5}$ ;
A reta $r: 3x-y+5 = 0$ tem coeficiente angular $m_r = 3$ .

Seja $m_t$ o coeficiente angular da reta t que forma um angulo de 45° com a reta r, temos:

$tg(45^{circ}) = left | frac{m_r-m_t}{1+m_rcdot m_t} ight | Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 1 = left | frac{3-m_t}{1+3 m_t} ight | Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 1 = frac{3-m_t}{1+3 m_t}$ ou $-1 = frac{3-m_t}{1+3 m_t}Leftrightarrow$

$Leftrightarrow m_t = frac{1}{2}$ ou $m_t = -2$

Podemos escrever a equação da reta t como: $t: y = m_tx + b$ , com $b in mathbb{R}$ . Sendo assim teremos as duas possibilidades a seguir:

$y = frac{1}{2}x + b Rightarrow x - 2y + 2b = 0$

$y = -2x + b Rightarrow 2x + y - b = 0$

Sabendo que a distância entre a reta t e a origem é $frac{3sqrt{5}}{5}$ e as equações da reta.

$(i)$ Para $x - 2y + 2b = 0$ , temos:

$frac{|0 -2cdot 0 +2 h|}{sqrt{1^2+(-2)^2}} = frac{3sqrt{5}}{5} Leftrightarrow h = pm frac{3}{2}$

$(ii)$ Para $2x + y - b = 0$ , temos:

$frac{|2cdot 0 + 0 - h|}{sqrt{1^2+(-2)^2}} = frac{3sqrt{5}}{5} Leftrightarrow h = pm 3$

Portanto, as equações das retas possíveis são:

$x-2y+frac{3}{2} = 0$
$x-2y-frac{3}{2} = 0$
$2x + y -3=0$
$2x + y +3=0$

Dentre essas quatro retas, a única que tangencia a circunferência é a reta $2x + y +3=0$ .

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