Questão 14

ITA 2009

Matemática

[ITA - 1ª FASE - 2009]

No plano, considere $S$ o lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distâncias à reta t : x = 1 e ao ponto A = (3, 2) é igual a 4. Então, $S$ é

( ) uma circunferência de raio $sqrt{2}$ e centro (2,1)

( ) uma circunferência de raio 1 e centro (1,2)

( ) uma hipérbole

( ) uma elipse de eixos de comprimento $2sqrt{2}$ e $2$

( ) uma elipse de eixos de comprimentos 2 e 1

Gabarito:

( ) uma elipse de eixos de comprimento $2sqrt{2}$ e $2$

Resolução:

Seja $P(x,y)$ um ponto genérico do lugar geométrico S. Temos:

$(d_{P,t})^2 + (d_{P,A})^2 = 4$

Com base nos dados fornecidos pelo enunciado, tem-se:

$(d_{P,t})^2 = (x-1)^2$

$(d_{P,A})^2 = (x-3)^2 + (y-2)^2$

Portanto, S é dado por:

$(d_{P,t})^2 + (d_{P,A})^2 = 4$

$(x-1)^2 +(x-3)^2 + (y-2)^2= 4$

$(x^2 - 2x +1) + (x^2-6x+9) + (y^2-4y+4)= 4$

$2x^2 - 8x +y^2 - 4y +14 = 4$

$2(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2$

$frac{(x-2)^2}{1} + frac{(y-2)^2}{2} = 1$

A equação acima representa uma elipse, de centro (2,2), tal que:

$a^2 = 2 Rightarrow a = sqrt2 Rightarrow 2a = 2sqrt2$ , é o comprimento do eixo maior.

$b^2 = 1 Rightarrow b = 1 Rightarrow 2b = 2$ , é o comprimento do eixo menor.

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