Questão 9

ITA 2009

Matemática

(ITA - 2009 - 2ª fase)

Considere as n retas

$r_{i}:y=m_{i}x+10, i=1,2, ...,n; ngeq 5$ ,

em que os coeficientes $m_{i}$ , em ordem crescente de i, formam uma progressão aritmética de razão q > 0. Se $m_{1} = 0$ e a reta $r_{5}$ tangencia a circunferência de equação x² + y² = 25, determine o valor de q:

Gabarito:

Resolução:

Com base nos dados fornecidos pelo enunciado, temos que:

$r_{5}: y = m_{5}x +10$

Como os coeficientes estão em uma progressão aritmética de razão $q$ e termo inicial $m_{1} = 0$ , temos:

$\ m_{1} = 0 \ m_{2} = 0 + q \ m_{3} = 0+ 2q\ m_{4} = 0+ 3q\ m_{5} = 0+ 4q\ ...$

Portanto:

$r_{5}: y = m_{5}x + 10 Leftrightarrow y = 4qcdot x + 10 Leftrightarrow 4qcdot x + 10 - y = 0$

Olhando para circunferência de equação $x^2 + y^2 = 25$ , vemos que possui raio $r = 5$ e centro $(x_{0}, y_{0}) = (0, 0)$ . Sabendo disso e que a reta $r_{5}$ é tangente a circunferência, podemos utilizar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta, adaptado para o centro da circunferência. Sendo assim, temos:

$d = frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{sqrt{a^2+b^2}}$

$5 = frac{|(4q)cdot(0)+(-1)cdot(0)+10|}{sqrt{(4q)^2+(-1)^2}} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 5 = frac{|10|}{sqrt{16q^2+1}} Leftrightarrow sqrt{16q^2+1} = 2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 16q^2+1 = 4 Leftrightarrow 16q^2 = 3 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow q^2 = frac{3}{16} Leftrightarrow q = pm frac{sqrt3}{4}$

Porém, no enunciado é dito que a razão $q$ é maior que zero, logo a única solução possível é $q = frac{sqrt3}{4}$ .

Questões relacionadas

Questão 1

(ITA - 2009 - 1ª FASE) Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Sabendo que (BC ∪ A)C = {f, g, h}, BC ∩ A = {a,b} e ACB = {d,e}, então...

Ver questão

Questão 2

[ITA - 1ª FASE - 2009] Uma empresa possui 1000 carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor “flex” (que funciona com álcool e com gasolina). Numa d...

Ver questão

Questão 3

(ITA - 2009 -1a FASE) Seja f : IR IR {0} uma função satisfazendo às condições: f(x + y) = f(x) f(y), para todo x, y ∈ IR e f(x) ≠ 1, para todo...

Ver questão

Questão 4

(ITA - 2009 - 1ª FASE) Se e , então, o número complexo é igual a

Ver questão