Questão 10

ITA 2009

Matemática

(ITA - 2009 - 2ª fase)

A razão entre a área lateral e a área da base octogonal de uma pirâmide regular é igual a $sqrt{5}$ . Exprima o volume desta pirâmide em termos da medida a do apótema da base.

Gabarito:

Resolução:

Com base nos dados fornecidos pelo enunciado, podemos construir as duas imagens abaixo, sendo a primeira a base da pirâmide, com aresta b e apótema da base a, e a segunda imagem o corte da pirâmide passando pela apótema com altura da pirâmide h.

Com isso teremos:

$2a = b + frac{b}{sqrt{2}}+ frac{b}{sqrt{2}}$

$2a = b + 2frac{b}{sqrt{2}}$

$2a = b + bsqrt{2}$

$2a = bcdot (1 + sqrt{2})$

$b = frac{2a}{(1 + sqrt{2})}$

A área lateral da pirâmide será:

$8cdot frac{1}{2}cdot bcdot c = 4bc$

A área da base será:

$bcdot 2a + 2cdotleft ( (2a+b)cdot left ( frac{1}{2} ight )cdotleft ( frac{b}{sqrt{2}} ight ) ight ) =$

$= 2ab + frac{2ab}{sqrt{2}} + frac{b^2}{sqrt{2}} =$

$= 2ab + 2ab cdot frac{1}{sqrt{2}} + bcdot(2a(sqrt{2}-1))cdotfrac{1}{sqrt{2}} =$

$= 2ab left ( 1+frac{1}{sqrt{2}} + frac{sqrt{2}-1}{sqrt{2}} ight ) =$

$= 2ab left ( frac{sqrt{2}+1+sqrt{2}-1}{sqrt{2}} ight ) = 4ab$

Usando a relação da área da base com a área lateral, temos:

$frac{4cdot bcdot c}{4 cdot b cdot a} = sqrt{5} Leftrightarrow c = sqrt{5}a$

Olhando para o triângulo retângulo formado pelo corte, temos:

$c^2 = h^2 + a^2$

$(sqrt{5}a)^2 = h^2 + a^2$

$h^2 = 4a^2$

$h = 2a$

Calculando o volume da pirâmide, teremos:

$V = frac{1}{3}cdot(4ba)cdot(h)$

$V = frac{1}{3}cdot[4cdot(2(sqrt{2}-1)a)cdot a]cdot(2a)$

$V = frac{16(sqrt{2}-1)a^3}{3}$

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