Questão 3
ITA 2009
(ITA - 2009 - 2ª fase)
Seja f: {-1} →
definida por f(x) =
.
a ) Mostre que f é injetora.
b) Determine D = {f(x); x
{-1}} e f-1 : D →
{-1}.
Gabarito:
Resolução:
a) f(x) = (2x + 3)/(x + 1)
f é injetora se existir duas entradas x1 e x2 com imagens f(x1) e f(x2) iguais tal que x1 seja necessariamente igual a x2 :
f(x1) = f(x2), então
(2x1 + 3)/(x1 + 1) = (2x2 + 3)/(x2 + 1), então
(2x1 + 3)*(x2 + 1) = (2x2 + 3)*(x1 + 1), então
2x1x2 + 2x1 + 3x2 + 3 = 2x1x2 + 2x2 + 3x1 + 3, então
x1 = x2
Como vimos, se as imagens de x1 e de x2 forem iguais, então x1 = x2. Logo, f é injetora.
b) A inversa de f(x) é:
f(x) = (2x + 3)/(x + 1), então
f(x)*(x + 1) = 2x + 3, então
f(x)*x + f(x) = 2x + 3, então
x (f(x) - 2) = 3 - f(x), então
x = (3 - f(x))/(f(x) - 2)
Como o denominador não pode ser nulo, temos que f(x) - 2 ≠ 0, assim f(x) ≠ 2.
Logo, D = R - {2} e f-1(x) = (3 - x)/(x - 2)