Questão 6

ITA 2009

Matemática

[ITA - 1ª FASE - 2009]

Considere as funções f(x) = x⁴ + 2x³ – 2x – 1 e g(x) = x² – 2x + 1. A multiplicidade das raízes não reais da função composta f g é igual a

Gabarito:

Resolução:

Desenvolvendo a função $f(x)$ , temos:

$f(x) = x^4 + 2x^3 - 2x -1$

$f(x) = (x^2+1)cdot(x^2-1)+2xcdot(x^2-1)$

$f(x) = (x^2-1)cdot(x^2+2x+1)$

$f(x) = (x^2-1)cdot(x+1)^2$

Desenvolvendo $g(x)$ , temos:

$g(x) = x^2-2x+1 = (x-1)^2$

Fazendo agora a função composta, temos:

$fcirc g (x) = ((x-1)^4-1)cdot((x-1)^2+1)^2$

$fcirc g (x) = ((x-1)^2-1)cdot ((x-1)^2+1)cdot((x-1)^2+1)^2$

$fcirc g (x) = ((x-1)^2-1)cdot ((x-1)^2+1)^3$

$fcirc g (x) = (x^2-2x)cdot (x^2-2x+2)^3$

Olhando para o primeiro termo $x^2-2x$ , temos as seguintes raízes: $x = 0$ e $x = 2$ , com multiplicidade 1, portanto raízes simples.

Olhando para o segundo termo $x^2-2x+2$ , temos as seguintes raízes: $x = 1pm i$ , que terão multiplicidade 3, já que o termo está elevado a terceira potência.

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