Questão 7
ITA 2009
[ITA - 1ª FASE - 2009]
Suponha que os coeficientes reais a e b da equação x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 são tais que a equação admite solução não real r com . Das seguintes afirmações:
I. A equação admite quatro raízes distintas, sendo todas não reais.
II. As raízes podem ser duplas.
III. Das quatro raízes, duas podem ser reais.
é (são) verdadeira( s )
apenas I.
apenas II.
apenas III.
apenas II e III
nenhuma.
Gabarito:
apenas I.
Resolução:
Olhando para a equação , conseguimos identificar que ela será recíproca de grau 4. Dessa forma, por ser recíproca, se
é raiz,
também será, desde que
.
Se é uma raiz não real, então o seu conjugado,
também é raiz.
Se é raiz,
também é raiz, pois a equação é recíproca.
Como e
é não real, tome
, com
. Usando potenciação de números complexos, teremos:
Supondo , teríamos:
Por hipótese, como , temos que
e com isso, concluímos que:
.
Portanto, as raízes da equação são: r, ,
e
, sendo quatro raízes não reais.
Dessa forma temos que apenas a primeira afirmativa é verdadeira, e as outras duas falsas.