Questão 9

ITA 2009

Matemática

[ITA - 1ª FASE - 2009]

Dados A ∈ M_3x2 (IR) e b ∈ M_3x1 (IR), dizemos que X₀ ∈ M_2x1 (IR) é a melhor aproximação quadrática do sistema AX = b quando assume o menor valor possível. Então, dado o sistema

a sua melhor aproximação quadrática é

Gabarito:

Resolução:

Sendo $A = left[ egin{array}{cc} -1 & 0 \ 0 & 1\ 1 & 0 end{array} ight]$ , $b= left[ egin{array}{c} 1 \ 1 \ 1 end{array} ight]$ e $X_0= left[ egin{array}{c} x \ y end{array} ight]$ , teremos:

$AX_0 - b = left[ egin{array}{cc} -1 & 0 \ 0 & 1\ 1 & 0 end{array} ight] cdotleft[ egin{array}{c} x \ y end{array} ight] - left[ egin{array}{c} 1 \ 1 \ 1 end{array} ight]$

$AX_0 - b = left[ egin{array}{cc} -x \ y \ x end{array} ight] - left[ egin{array}{c} 1 \ 1 \ 1 end{array} ight]$

$AX_0 - b = left[ egin{array}{cc} -x-1 \ y-1 \ x-1 end{array} ight]$

$left (AX_0 - b ight )^t = left[ egin{array}{ccc} -x-1 & y-1 & x-1 end{array} ight]$

$left (AX_0 - b ight )^tcdotleft (AX_0 - b ight ) = left[ egin{array}{ccc} -x-1 & y-1 & x-1 end{array} ight] cdot left[ egin{array}{cc} -x-1 \ y-1 \ x-1 end{array} ight]$

$left (AX_0 - b ight )^tcdotleft (AX_0 - b ight ) = left[ egin{array}{ccc} 2(x^2+1)+(y-1)^2end{array} ight]$

Interpretando que a raiz dessa matriz, seja a raiz do elemento dela. Temos que:

O elemento $sqrt{2(x^2+1)+(y-1)^2}$ assume o menor valor possível quando $x = 0$ e $y = 1$ .

Portanto, a melhor aproximação quadrática do sistema é $X_0= left[ egin{array}{c} 0 \ 1 end{array} ight]$ .

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