Questão 10

ITA 2009

Matemática

[ITA - 1ª FASE - 2009]

O sistema

$egin{cases} a_{1}x+b_{1}y = c_{1}\ a_{2}x+b_{2}y = c_{2} end{cases}$ , a₁, a_2, b₁, b₂, c₁, c₂ ∈ IR,

com (c₁, c₂) ≠ (0, 0), a₁c₁ + a₂c₂ = b₁c1 + b₂c₂ = 0, é

determinado.

determinado somente quando c₁ ≠ 0 e c₂ ≠ 0.

determinado somente quando c₁ ≠ 0 e c₂ = 0 ou c₁ = 0 e c₂ ≠ 0.

impossível.

indeterminado.

Gabarito:

impossível.

Resolução:

Seja $c_{1} eq 0$ e $c_{2} eq 0$ , então temos:

$egin{cases} a_{1}x+b_{1}y = c_{1}\ a_{2}x+b_{2}y = c_{2} end{cases} Rightarrow egin{cases} left [a_{1}x+b_{1}y ight ]cdot c_{1} = (c_{1})^2\ left [a_{2}x+b_{2}y ight ]cdot c_{2} = left (c_{2} ight )^2 end{cases}$

Somando as duas igualdades do sistema, teremos:

$left (a_{1}c_{1}x+b_{1}c_{1}y ight ) + left (a_{2}c_{2}x+b_{2}c_{2}y ight ) = c_{1}^2 + c_{2}^2$

$left (a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2} ight )x + left (b_{1}c_{1}+b_{2}c_{2} ight )y = c_{1}^2 + c_{2}^2$

Substituindo os termos em parenteses com base no que nos foi fornecido no enunciado, temos:

$left (0 ight )x + left (0 ight )y = c_{1}^2 + c_{2}^2$

$c_{1}^2 + c_{2}^2 = 0 Rightarrow c_{1}^2 = 0$ e $c_{2}^2 = 0 Rightarrow c_{1} = c_{2} = 0$

O que é impossível, visto que desenvolvemos o raciocínio supondo $c_{1} eq 0$ e $c_{2} eq 0$ .

Note que caso apenas $c_{1}$ ou $c_{2}$ seja igual a zero, ao desenvolvermos a expressão $a_{1}c_{1} + a_{2}c_{2} = b_{1}c_{1} + b_{2}c_{2} = 0$ teremos $c_{2} = 0$ ou $c_{1} = 0$ , respectivamente.

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