Questão 13

ITA 2009

Matemática

[ITA - 1ª FASE - 2009]

Considere o triângulo ABC de lados $a=overline{BC}$ , $b=overline{AC}$ e $c=overline{AB}$ e ângulos internos $alpha =Cwidehat{A}B$ , $eta =Awidehat{B}C$ e $gamma =Bwidehat{C}A$ . Sabendo-se que a equação x² - 2bx cos α + b² - a² = 0 admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que

$alpha$ = 90°.

$eta$ = 60°.

$gamma$ = 90°.

O triângulo é retângulo apenas se $alpha$ = 45°.

O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.

Gabarito:

O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.

Resolução:

Dada a equação $x^2 - left (2bcdot cos(alpha) ight )cdot x + (b^2-a^2) = 0$ e sabendo que c é raiz dupla, temos:

$x^2 - left (2bcdot cos(alpha) ight )cdot x + (b^2-a^2) = (x-c)^2 Rightarrow$

$Rightarrow x^2 - left (2bcdot cos(alpha) ight )cdot x + (b^2-a^2) = x^2 - 2cx - c^2Rightarrow$

$Rightarrow - left (2bcdot cos(alpha) ight )cdot x + (b^2-a^2) = - 2cx - c^2Rightarrow$

$Rightarrow egin{cases} -2b cdot cos(alpha)=-2c \ b^2 - a^2 = c^2 end{cases} Rightarrow$

$Rightarrow egin{cases} cos(alpha)=frac{c}{b} \ b^2 = c^2 + a^2 end{cases}$

Da segunda igualdade, concluímos que o triangulo ABC é um triângulo reto em $eta$ , sendo b a sua hipotenusa.

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