Questão 15

ITA 2009

Matemática

[ITA - 1ª FASE - 2009]

Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em uma circunferência de raio R = 2 cm, sabe-se que o lado mede 2 cm e o ângulo interno mede 30°. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm, igual a

Gabarito:

Resolução:

Com base no enunciado, conseguimos construir as seguintes figuras:

Seja T a área do triângulo ABC, r o raio da circunferência e p o semiperímetro do triângulo ABC. Temos:

$T = frac{ABcdot1}{2} = frac{2sqrt{3}}{2} = sqrt{3}$

Além disso, podemos calcular a área através do produto do semiperímetro com o raio, dessa forma, tem-se:

$T = pcdot r$

$sqrt{3} = frac{2+2+2sqrt{3}}{2}cdot r$

$sqrt{3} = (2+sqrt{3})cdot r$

$frac{sqrt{3}}{2+sqrt{3}} = r$

$frac{sqrt{3}}{2+sqrt{3}} cdot frac{2-sqrt{3}}{2-sqrt{3}} = r cdot frac{2-sqrt{3}}{2-sqrt{3}}$

$r = sqrt{3}(2-sqrt{3})$

$r = 2sqrt{3}-3$

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