Questão 19

ITA 2009

Matemática

[ITA - 1ª FASE - 2009]

Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de altura e de 60° de ângulo de vértice. Os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência e distam do vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela esfera, em cm³, é igual a

Gabarito:

Resolução:

Fazendo um corte que passa pelo vértice D do cone, temos a seguinte figura:

Sendo DC = 8, R o raio da base do cone e r o raio da esfera.

Olhando para o triângulo retângulo DGE, temos:

$tg(30^{circ}) = frac{r}{2sqrt{3}} Leftrightarrow frac{sqrt{3}}{3} = frac{r}{2sqrt{3}} Leftrightarrow r = 2$

Agora olhando para o triângulo retângulo DCB, temos:

$tg(30^{circ}) = frac{R}{8} Leftrightarrow frac{sqrt{3}}{3} = frac{R}{8} Leftrightarrow R = frac{8sqrt{3}}{3}$

Assim, o volume da região interna do cone, que não é preenchida pela esfera, será:

$V_{cone} - V_{esfera} = frac{1}{3}cdot pi R^2 cdot8 - frac{4}{3} pi r^3$

$V_{cone} - V_{esfera} = frac{1}{3}cdot picdot frac{64}{3} cdot8 - frac{4}{3} pi cdot8$

$V_{cone} - V_{esfera} = frac{512pi}{9} - frac{32pi}{3} = frac{416pi}{9}$

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