Questão 28

ITA 2010

Matemática

(ITA - 2010 - 2 fase) Considere a equação $(3 - 2cos^2x)(1+tg^2 frac{x}{2}) - 6tg frac{x}{2} = 0$

a) Determine todas as soluções x no intervalo $[0, pi [$ .

b) Para as soluções encontradas em a), determine cotg x.

Gabarito:

Resolução:

a) Desenvolvendo a expressão, temos:

$(3 - 2cos^2x)(1+tg^2 frac{x}{2}) - 6tg frac{x}{2} = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (3 - 2cos^2x)(sec^2 frac{x}{2}) - 6cdot frac{sen frac{x}{2}}{cos frac{x}{2}} = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{3 - 2cos^2x}{cos^2 frac{x}{2}} - 6cdot frac{sen frac{x}{2}}{cos frac{x}{2}} = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{3-2cdot cos^2(x)-6cdot senleft ( frac{x}{2} ight )cdot cosleft ( frac{x}{2} ight )}{cos^2left ( frac{x}{2} ight )} = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{3-2cdot cos^2(x)-3cdot sen(x)}{cos^2left ( frac{x}{2} ight )} = 0 Leftrightarrow$

Com $cosleft ( frac{x}{2} ight ) eq 0$ , temos:

$Leftrightarrow 3-2cdot (1-sen^2(x))-3cdot sen(x) = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 2cdot sen^2(x)-3cdot sen(x) + 1 = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (2sen(x) -1)(sen(x)-1) = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow sen(x) = 1 ext{ ou } sen(x) = frac{1}{2}$

No intervalo pedido, teremos:

$x = frac{pi}{6} ext{ ou } x = frac{pi}{2} ext{ ou }x = frac{5pi}{6}$

b) $cotg(x) = frac{cos(x)}{sen(x)}$ , dessa forma teremos:

(i) Para $x = frac{pi}{6}$ , temos:

$cotg left ( frac{pi}{6} ight ) = frac{cosleft ( frac{pi}{6} ight )}{senleft ( frac{pi}{6} ight )} = frac{frac{sqrt{3}}{2}}{frac{1}{2}} = sqrt{3}$

(ii) Para $x = frac{pi}{2}$ , teremos:

$cotg left ( frac{pi}{2} ight ) = frac{cosleft ( frac{pi}{2} ight )}{senleft ( frac{pi}{2} ight )} = frac{0}{1} = 0$

(iii) Para $x = frac{5pi}{6}$ , temos:

$cotg left ( frac{5pi}{6} ight ) = frac{cosleft ( frac{5pi}{6} ight )}{senleft ( frac{5pi}{6} ight )} = frac{-frac{sqrt{3}}{2}}{frac{1}{2}} = -sqrt{3}$

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