Questão 23

ITA 2010

Matemática

(ITA - 2010 - 2 FASE) Analise se a função f: $mathbb{R}$ → $mathbb{R}$ , f(x) = $frac{3^{x}-3^{-x}}{2}$ é bijetora e, em caso afirmativo, determine a função inversa f^-1.

Gabarito:

Resolução:

$(i)$ Como a função g definida por $g(x) = 3^x$ é estritamente crescente, então:

$x_{1} < x_{2} Rightarrow 3^{x_{1}} < 3^{x_{2}} Rightarrow 3^{x_{1}} - 3^{x_{2}}, forall x_{1}, x_{2} in mathbb{R}$

$(ii)$ Como a função h definida por $h(x) = 3^{-x}$ é estritamente decrescente, então:

$x_{1} < x_{2} Rightarrow 3^{-x_{1}} > 3^{-x_{2}} Rightarrow 3^{-x_{1}} - 3^{-x_{2}} > 0 Rightarrow$

$Rightarrow -left (3^{-x_{1}} - 3^{-x_{2}} ight ) < 0, forall x_{1}, x_{2} in mathbb{R}$

De (i) e (ii) temos que a função f é estritamente crescente, já que para todo $x_{1} < x_{2}$ , teremos:

$f(x_{1}) - f(x_{2}) = frac{3^{x_1}-3^{x_1}}{2} - frac{3^{x_2}-3^{x_2}}{2} =$

$= frac{1}{2} left [ left ( 3^{x_1}-3^{x_2} ight ) - left ( 3^{-x_1}-3^{-x_2} ight ) ight ] < 0 Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Portanto, como f é estritamente crescente, temos que a função f é injetora.

Além disso, temos que $Im(f) = CD(f) = mathbb{R}$ , logo f é sobrejetora.

Como f é injetora e sobrejetora, f será bijetora.

Calculando a inversa de f, temos:

$y = frac{3^x-3^{-x}}{2} Leftrightarrow 2y = 3^{x} - frac{1}{3^x} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (3^x)^2 - 2y(3^x) - 1 = 0 Leftrightarrow 3^x = frac{2y+sqrt{4y^2+4}}{2} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 3^x = y + sqrt{y^2+1} Leftrightarrow 3^x = log _{3}{left (y+sqrt{y^2+1} ight )}$

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