Questão 34319

ITA 2010

Matemática

(ITA - 2010 - 1ª FASE) Sobre os elementos da matriz

$A=egin{bmatrix} x_1 &x_2 &x_3 &x_4 \ y_1 &y_2 &y_3 &y_4 \ 0 &0 &0 &1 \ 1 & 0 &0 &0 end{bmatrix}in M_{4x4}left(mathbb{R} ight )$

sabe-se que (x₁, x₂, x_3, x₄) e (y₁, y₂, y_3, y₄) são duas progressões geométricas de razão 3 e 4 e de soma 80 e 255, respectivamente, então, det(A^-1) e o elemento (A^-1)₂₃ valem, respectivamente,

1/72 e 12.

-1/72 e -12.

-1/72 e 12.

-1/72 e 1/12.

1/72 e 1/12.

Gabarito:

-1/72 e 12.

Resolução:

Podemos descobrir quais são os elementos da matriz pela soma de PGs. Temos que:

$Sn = frac{a_1 cdot (q^n - 1)}{q-1}$

Para a primeira linha, é dada a soma 80 e a razão 3, com um total de 4 termos:

$80 = frac{x_1 cdot (3^4 - 1)}{3-1}$

$80 = frac{x_1 cdot (81-1)}{2}$

$2 cdot 80 = x_1 cdot (80)$

$x_1 = 2$

Assim:

$x_2 = 2 cdot 3 = 6$

$x_3 = 2 cdot 3^2 = 18$

$x_4 = 2 cdot 3^3 = 54$

Podemos fazer o mesmo para a segunda linha, que tem soma 255, 4 termos e razão 4:

$255 = frac{y_1 cdot (4^4 - 1)}{4-1}$

$255 = frac{y_1 cdot (256 - 1)}{3}$

$3 cdot 255 = y_1 cdot (255)$

$y_1 = 3$

Assim:

$y_2 = 3 cdot 4 = 12$

$y_3 = 3 cdot 4^2 = 48$

$y_4 = 3 cdot 4^3 = 192$

E a matriz é:

$egin{bmatrix} 2 &6 &18 &54 \ 3& 12 & 48 &192 \ 0& 0 & 0 & 1\ 1& 0 & 0 & 0 end{bmatrix}$

Podemos descobrir o seu determinante por Laplace na quarta linha:

$det(A) = 1 cdot (-1)^{4+1} cdot egin{vmatrix} 6 &18 &54 \ 12& 48 & 192\ 0& 0 & 1 end{vmatrix}$

$det(A) = -1cdot egin{vmatrix} 6 &18 &54 \ 12& 48 & 192\ 0& 0 & 1 end{vmatrix}$

Assim, basta descobrir o determinante:

$6 cdot 48 cdot 1 + 18 cdot 192 cdot 0 + 54 cdot 12 cdot 0 - 54 cdot 48 cdot 0 - 6 cdot 192 cdot 0 - 18 cdot 12 cdot 1$

$6 cdot 48 cdot 1 - 18 cdot 12 cdot 1 = 288 - 216 = 72$

Assim:

$det(A) = -1 cdot 72 = -72$

E o determinante de sua inversa:

$det(A^1) = frac{1}{-72} = -frac{1}{72}$

Para descobrir um elemento específico da matriz inversa, podemos resolver um sistema, de forma a encontrar a matriz inversa inteira, ou utilizar o cofator.

Por cofator, sabemos que:

$(A^{-1})_{ij}=frac{C_{j,i}}{det(A)}$