Questão 21

ITA 2010

Matemática

(ITA - 2010 - 2 FASE) Sejam $A$ ; $B$ e $C$ conjuntos tais que $Csubset B$ ; $n(Bsetminus C) = 3n(B cap C) = 6n(A cap B)$ ; $n(Acup B) = 22 e (n(C); n(A); n(B))$ é uma progressão geométrica de razão r > 0:

a) Determine n(C):

b) Determine $n(P(Bsetminus C))$

Gabarito:

Resolução:

Seja $n(C) = a$ , temos:

$C subset B Leftrightarrow Bcap C = C$ , com isso temos que $nleft (Bcap C ight ) = n(C) = a$

Desenvolvendo a primeira igualdade, temos:

$nleft (B setminus C ight ) = 3n(Bcap C)$

$n (B-(Bcap C)) = 3n(Bcap C)$

$n (B-C) = 3n(C)$

$n (B) -n(C) = 3n(C)$

$n (B) = 4n(C) = 4a$

Como $n(C), n(A), n(B)$ formam uma progressão geométrica nessa ordem, temos:

$n(C)cdot n(B) = (n(A))^2$

$acdot 4a = (n(A))^2$

$4a^2 = (n(A))^2$

$2a = n(A)$

Utilizando outra das igualdades definidas, temos:

$3n(Bcap C) = 6n(Acap B)$

$3a = 6n(Acap B)$

$n(Acap B) = frac{a}{2}$

Sendo assim, teremos:

$n(Acup B) = n(A) + n(B) - n(Acap B)$

$22 = 2a + 4a - frac{a}{2}$

$22 = frac{11a}{2}$

$a = 4$

a) $n(C) = a =4$

b) $n(P(Bsetminus C)) = 2^{n(Bsetminus C)} = 2^{3n(Bcap C)} = 2^{3a} = 2^{12}$

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