Questão 22

ITA 2010

Matemática

(ITA - 2010 - 2 FASE) A progresão geométrica infinita (a₁; a₂, ..., a_n; ...) tem raz„o r < 0: Sabe-se que a progressão infinita (a₁; a₆, ..., a_5n+1; ...) tem soma 8 e a progessão infinita (a₅; a₁₀, ..., a_5n; ...) tem soma 2. Determine a soma da progressão infinita (a₁; a₂, ..., a_n; ...).

Gabarito:

Resolução:

Conforme as informações fornecidas pelo enunciado, temos:

A progressão geométrica infinita $(a_{1}, a_{6}, a_{11}, ext{...})$ tem razão $r^5$ e soma igual a 8, portanto:

$frac{a_{1}}{1-r^5} = 8$

A progressão geométrica infinita $(a_{5}, a_{10}, a_{15}, ext{...})$ tem razão $r^5$ e soma igual a 2, portanto:

$frac{a_{5}}{1-r^5} = 2$

Além disso, temos que:

$a_5 = a_1cdot r^4$

Substituindo $a_5$ na segunda igualdade e fazendo a razão entre as progressões geométricas, temos:

$dfrac{frac{a_1}{1-r^5}}{frac{a_1cdot r^4}{1-r^5}} = frac{8}{2} Leftrightarrow frac{1}{r^4} = 4 Leftrightarrow r = pm frac{1}{sqrt{2}}$

Sendo assim, temos que $r = - frac{1}{sqrt{2}} = -frac{sqrt{2}}{2}$ , já que no enunciado é dito que $r < 0$ .

Substituindo $r$ na nossa primeira soma, temos:

$frac{a_1}{1-r^5} = frac{a_1}{1-left ( -frac{sqrt{2}}{2} ight )^5} = frac{a_1}{frac{8+sqrt{2}}{8}} = frac{8a_1}{8+sqrt{2}}$

Sendo essa soma, igual a 8, teremos que:

$frac{8a_1}{8+sqrt{2}} = 8 Leftrightarrow a_1 = 8+sqrt{2}$

Com os valores de $r$ e $a_1$ podemos calcular a soma da progressão infinita $(a_{1}, a_{2}, a_{2}, ext{...})$ , sendo:

$frac{a_1}{1-r} = frac{(8+sqrt{2})}{1+frac{sqrt{2}}{2}} = 14 -6sqrt{2}$

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