Questão 25

ITA 2010

Matemática

(ITA - 2010 - 2 FASE) Considere o polinômio $p(x) = sum_{n=0}^{6} a_nx^n$ ; com coeficientes reais, sendo $a_0 eq 0$ e $a_6 = 1$ . Sabe-se que se r é raiz de p, -r também é raiz de p. Analise a veracidade ou falsidade das afirmações:

I. Se r1 e r2; $left | r1 ight | eq left | r2 ight |$ ; s„o raízes reais e r3 é raiz não real de p, então r3 é imaginário puro.

II. Se r é raiz dupla de p; então r é real ou imaginário puro.

III. a₀< 0

Gabarito:

Resolução:

O polinômio $p(x) = sum_{n=0}^{6} a_nx^n = a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + a_5x^5 + x^6$ tem coeficientes reais. Portanto, se $alpha + eta i$ for raiz de $p(x)$ , obrigatoriamente teremos que $alpha - eta i$ também será raiz de $p(x)$ , com mesma multiplicidade.

$(i)$ Se $r_1$ e $r_2$ , com $|r_1| eq |r_2|$ , são raízes reais e $r_3$ é uma raiz não real do polinômio, então as raízes do polinômio serão: $pm r_1, pm r_2, pm r_3$ .

Se $r_3 = alpha + eta i$ é raiz, então $alpha - eta i$ também será e se $-r_3 = - alpha - eta i$ é raiz, temos que o seu conjugado $- alpha + eta i$ será raiz também. Logo para que $alpha + eta i$ , $alpha - eta i$ , $-alpha - eta i$ e $-alpha + eta i$ representem apenas duas raízes, então $alpha = 0$ , portanto, as raízes são da forma $pm eta i$ .

$(ii)$ Podemos ter $r$ e $-r$ com multiplicidade diferente. Como um contra-exemplo, temos o conjunto solução $S = left{ 5+i, 5+i, 5-i, 5-i, -5-i, -5+i ight }$ , formado por números complexos que não são nem reais e nem imaginários puros. Observe que as condições propostas pelo exercício de $r$ e $-r$ como raízes reais continuam válidas, além disso, o teorema de raízes complexas continua válido.