Questão 29

ITA 2010

Matemática

(ITA - 2010 - 2 FASE) Determine uma equação da circunferência inscrita no triângulo cujos vértices são A = (1; 1); B = (1; 7) e C = (5; 4) no plano xOy.

Gabarito:

Resolução:

Conforme os dados fornecidos pelo enunciado, podemos construir a figura abaixo, com o triângulo ABC sendo isósceles e onde o ponto $P$ é o centro da circunferência inscrita, de raio r, e pertence à reta $y = 4$ , ou seja, possui coordenadas $P = (p, 4)$ .

Além disso, temos que o raio r será: $r = p - 1 > 0$ .

A reta AC tem equação:

$left| egin{array}{rcr} x & y & 1 \ 5 & 4 & 1\ 1 & 1 & 1 end{array} ight| = 0 Leftrightarrow 3x - 4y +1 = 0$

A distância entre a reta AC e o ponto P é equivalente ao raio, como é mostrado na figura, então temos:

$r = frac{|3p-16+1|}{sqrt{9+16}} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow p-1 = frac{|3p-15|}{5} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 5p-5 = |3p-15| Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 5p-5 = pm (3p-15)$

Fazendo para cada uma das possibilidades, temos:

$5p-5 = (3p-15) Leftrightarrow 2p = -10 Leftrightarrow p = -5$

$5p-5 = -(3p-15) Leftrightarrow 8p = 20 Leftrightarrow p = frac{5}{2}$

Como pela construção, temos $p > 0$ , obrigatoriamente temos $p = frac{5}{2}$ .

Logo, temos que o raio r:

$r = p - 1 Rightarrow r = frac{5}{2} - 1 Rightarrow r = frac{3}{2}$

Portanto, a equação da circunferência inscrita no triângulo será:

$left ( x-frac{5}{2} ight ) + left ( y-4 ight )^2 = left (frac{3}{2} ight )^2$

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