Questão 17

ITA 2010

Matemática

(ITA - 2010)

Considere as circunferências $C_1: (x-4)^2 + (y-3)^2 = 4$ e $C_2: (x-10)^2 + (y-11)^2 = 9.$

Seja $r$ uma reta tangente interna a $C_1$ e $C_2$ , isto é, $r$ tangencia $C_1$ e $C_2$ e intercepta o segmento de reta $overline{O_1O_2}$ definido pelos centros $O_1$ de $C_1$ e $O_2$ de $C_2$ . Os pontos de tangência definem um segmento sobre $r$ que mede

A

$5sqrt3$

B

$4sqrt5$

C

$3sqrt6$

D

$frac{25}{3}$

E

$9$

Gabarito:

$5sqrt3$

Resolução:

$d(O_{1},O_{2})=sqrt{(10-4)^{2}+(11-3)^{2}}=10$

$x=ar{O_{1}G}$

$ar{O_{2}G}=10-x$

$frac{x}{10-x}=frac{2}{3}$

$x=4$

$T_{1}G=2sqrt{3}$

Sendo assim, por semelhança de triângulo podemos obter:

$frac{2sqrt{3}}{T_{2}G}=frac{2}{3}$

$T_{2}G=3sqrt{3}$

$T_{1}=T_{2}=2sqrt{3}+3sqrt{3}=5sqrt{3}$

Gabarito: a)

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