Questão 8

Matemática

(Ita 2010) Sabe-se que o polinômio p(x) = x⁵ – ax³ + ax² – 1, a ∈ R admite a raiz – i.

Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p:

I. Quatro das raízes são imaginárias puras.
II. Uma das raízes tem multiplicidade dois.
III. Apenas uma das raízes e real.

Destas, é (são) verdadeira(s) apenas

II.

III.

I e III.

II e III.

Gabarito:

III.

Resolução:

1) Sabe-se que o polinômio p(x) = x⁵ – ax³ + ax² – 1, a ∈ IR, admite a raiz – i.

Se adimite raiz -i, temos que também admite a raiz i.

2) Logo, podemos encontrar o valor de a:

$i^5-ai^3+ai^2-1=0$

$i+ia-a-1=0$

$left(i-1 ight)a=-i+1$

$a=-1$

3) Com isso, temos que

$p(x) = x^5 + x^3 - x^2 - 1$

4) Sabendo que i e -i são raizes podemos reorganizar p(x):

$p(x) = (x+i)(x-i) cdot frac{x^5 + x^3 - x^2 - 1}{(x+i)(x-i)}$

5) Logo,

$p(x) = (x^2+1) cdot (x^3-1)$

6) Para encontrar as outras raízes, temos que:

$x^3-1=0$

7) Logo,

$x_1=i, ; x_2=-i,;x_3=1,:x_4=-frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2},:x_5=-frac{1}{2}-ifrac{sqrt{3}}{2}$

8) Analisando as alternativas:

I. Quatro das raízes são imaginárias puras. -> FALSA

II. Uma das raízes tem multiplicidade dois. -> FALSA

III. Apenas uma das raízes é real. -> VERDADEIRA