Questão 7

ITA 2011

Matemática

[ITA - 1 FASE - 2011]

Considere as afirmações abaixo:

I. Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não-nula e não-inversível, então existe matriz não-nula N, de mesma ordem, tal que MN é matriz nula.

II. Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que det(M² – M) = 0, então existe matriz não-nula X, de ordem n × 1, tal que MX = X.

III. A matriz é inversível,

Destas, é(são) verdadeira(s):

apenas II.

apenas I e II.

apenas I e III.

apenas II e III.

todas

Gabarito: todas

Resolução:

I -

$M=egin{bmatrix} 0 & 1\ 0 &0 end{bmatrix}$

$N=egin{bmatrix} 1 & 0\ 0 &0 end{bmatrix}$

$M.N=egin{bmatrix} 0 &0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$

Afirmativa verdadeira.

II -

$M=egin{bmatrix} 1 & 0\ 0 &1 end{bmatrix}$

$M^{2}-M=egin{bmatrix} 0 & 0\ 0 &0 end{bmatrix}$

$det(M^{2}-M)=0$

Tendo $x=frac{2}{2}$

$M.x=x$

Afirmativa verdadeira.

III -

$egin{bmatrix} cos heta &-sen heta \ frac{tg heta }{sec heta } & 1-2sen^{2}frac{-sen heta}{2} end{bmatrix}=$

$egin{bmatrix} cos heta &-sen heta \ sen heta & cos heta end{bmatrix}=$

$cos^{2} heta+sen^{2} heta=1$

Tal matriz é inversível.

Afirmativa verdadeira.

Gabarito: e)

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