Questão 10

ITA 2011

Matemática

[ITA - 1 FASE - 2011]

Considere a equação algébrica . Sabendo que x = 0 é uma das raízes e que (a₁, a₂, a₃₎ é uma progressão geométrica com a₁ = 2 e soma 6, pode-se afirmar que:

a soma de todas as raízes é 5.

o produto de todas as raízes é 21.

a única raiz real é maior que zero.

a soma das raízes não reais é 10.

todas as raízes são reais.

Gabarito: a soma de todas as raízes é 5.

Resolução:

Tais condições formam uma PG de a1 = 2 e soma 6.

Efetuando a2 = 2q e a3 = 2 . q² podemos obter:

$2+2q+2q^{2}=6$

$1+q+q^{2}=3$

$q^{2}+q-2=0$

q = 1 ou q = -2

Se q = -2, a1 = 2, a2 = -4 e a3 = 8

$(x-2)^{3}+(x+4)^{2}+(x-8)=0$

$x(x^{2}-5x+21)=0$

$x=0$ ou $x^{2}-5x+21=0$

Temos a seguinte soma das raíes da segunda equação:

$frac{-b}{a}=5$

Desse modo, temos como a soma de todas as raízes:

$0+5=5$

Gabarito: a)

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