Questão 2

ITA 2011

Matemática

(ITA 2011 - 2 fase - Questão 2)

Sejam $n geq 3$ ímpar, $z in mathbb{C} - {0}$ e $z_1,z_2,...,z_{n}$ as raízes de $z^n=1$ . Calcule o número de valores $|z_i-z_j|$ , $i,j = 1, 2, ..., n$ , com $i eq j$ , distintos entre si.

Gabarito:

Resolução:

Se $n geq 3$ e ímpar e $z_{1},z_{2},z_{3}, ... ,z_{n}$ as raízes da equação $z^{n } = 1 = cos (0) + icdot sen(0)$ , então temos:

$z_{1} = cos left ( frac{2pi}{n}cdot 0 ight ) + icdot sen left ( frac{2pi}{n}cdot 0 ight ) = 1$

$z_{2} = cos left ( frac{2pi}{n}cdot 1 ight ) + icdot sen left ( frac{2pi}{n}cdot 1 ight )$

$vdots$ $vdots$ $vdots$

$z_{k+1} = cos left ( frac{2pi}{n}cdot k ight ) + icdot sen left ( frac{2pi}{n}cdot k ight )$

$vdots$ $vdots$ $vdots$

$z_{n} = cos left ( frac{2pi}{n}cdot (n-1) ight ) + icdot sen left ( frac{2pi}{n}cdot (n-1) ight )$

Essas serão as n soluções, que podem ser representadas no plano complexo como pontos de uma circunferência de raio 1, dividindo a circunferência em n partes iguais, formando assim um polígono regular n lados.

Se $z_{i}$ e $z_{j}$ forem dois desses pontos quaisquer, então $left |z_{i} - z_{j} ight |^2$ corresponde a distância entre eles.

Dessa forma, teremos que:

$(i) left |z_{1} - z_{2} ight | = left |z_{2} - z_{3} ight | = left |z_{3} - z_{4} ight | = ... = d_{1}$

$(ii) left |z_{1} - z_{3} ight | = left |z_{2} - z_{4} ight | = left |z_{3} - z_{5} ight | = ... = d_{2}$

$(iii) left |z_{1} - z_{4} ight | = left |z_{2} - z_{5} ight | = left |z_{3} - z_{6} ight | = ... = d_{3}$

$vdots$ $vdots$ $vdots$ $vdots$

De um ponto $P_{1}$ saem $frac{n-3}{2}$ diagonais com tamanhos diferentes, além disso, temos o próprio lado do polígono, que também é uma medida, sendo (i).

Dessa forma, o número total de valores distintos de $|z_{i} = z_{j}|$ será:

$frac{n-3}{2} + 1 = frac{n-1}{2}$

Questão 2

ITA 2011

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