Questão 7

ITA 2011

Matemática

(ITA 2011 - 2 fase - Questão 7)

Considere uma esfera Ω com centro em C e raio r = 6 cm e um plano Σ que dista 2 cm de C. Determine a área da intersecção do plano Σ com uma cunha esférica de 30° em Ω que tenha aresta ortogonal a Σ.

Gabarito:

Resolução:

Com base nas informações do enunciado, temos a seguinte figura:

Onde C é o centro da esfera, O o centro da circunferência determinada pela interseção do plano $Sigma$ com a esfera $Omega$ , A e B pontos da esfera e do plano que formam a seção de $30^{circ}$ .

Olhando para o triângulo COB, temos:

$2^2+x^2 = 6^2 Rightarrow x = 4sqrt{2}$

Logo o setor AOB de $30^{circ}$ será:

$frac{30^{circ}}{360^{circ}} cdot pi cdot (4sqrt{2})^2 = frac{8pi}{3}$ cm².

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