Questão 9

ITA 2011

Matemática

(ITA 2011 - 2 fase - Questão 9)

Num triângulo AOB o ângulo AÔB mede 135° e os lados AB e OB medem √ 2 cm e √2 − √ 3 cm, respectivamente. A circunferência de centro em O e raio igual à medida de OB intercepta AB no ponto C ( $\neq$ B).

a) Mostre que OÂB mede 15°.

b) Calcule o comprimento de $ar{AC}$ .

Gabarito:

Resolução:

Com base nas informações dadas no enunciado, conseguimos construir a seguinte figura:

a) Aplicando a lei dos senos no triângulo AOB, temos:

$frac{sqrt{2-sqrt{3}}}{sen(OAB)} = frac{sqrt{2}}{sen(135^{circ})}$

$sen(OAB) = frac{sqrt{2-sqrt{3}}}{2}$

Utilizando a seguinte propriedade de raízes:

$sqrt{A-sqrt{B}} = sqrt{frac{A+C}{2}} - sqrt{frac{A-C}{2}}$ , onde $C = A^2 - B$

Temos:

$sen(OAB) = frac{sqrt{frac{2+1}{2}}- sqrt{frac{2-1}{2}}}{2}$

$sen(OAB) = frac{sqrt{6}- sqrt{2}}{4}$

Agora vamos calcular o $sen(15^{circ})$ , temos:

$sen(15^{circ}) = sen(60^{circ}-45^{circ})$

$sen(15^{circ}) = sen(60^{circ})cdot cos(45^{circ}) - sen(45^{circ})cdot cos(60^{circ})$

$sen(15^{circ}) = frac{sqrt{3}}{2}cdot frac{sqrt{2}}{2} - frac{sqrt{2}}{2}cdot frac{1}{2}$

$sen(15^{circ}) = frac{sqrt{6}- sqrt{2}}{4}$

Com isso, temos que:

$sen(15^{circ}) = sen(AOB) Rightarrow 15^{circ} = eta$

b) Fazendo o segmento OC de medida OB na nossa figura, temos:

Onde os ângulos BCO e OBC serão iguais, já que o triângulo BOC é isósceles de lado igual ao raio.

Dessa forma, temos:

$180^{circ} = x + 135^{circ} + 15^{circ} Leftrightarrow x = 30^{circ}$

$x = 15^{circ} + y Leftrightarrow y = 15^{circ}$

Como $y = 15^{circ}$ e $eta = 15^{circ}$ , temos que o triângulo AOC será isósceles com lados AC = OC, portanto $AC = sqrt{2-sqrt{3}}$ .

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