Questão 10

ITA 2011

Matemática

(ITA 2011 - 2 fase - Questão 10)

Considere um triângulo equilátero cujo lado mede 2 √ 3 cm. No interior deste triângulo existem 4 círculos de mesmo raio r. O centro de um dos círculos coincide com o baricentro do triângulo. Este círculo tangencia externamente os demais e estes, por sua vez, tangenciam 2 lados do triângulo.

a) Determine o valor de r.

b) Calcule a área do triângulo não preenchida pelos círculos.

c) Para cada círculo que tangencia o triângulo, determine a distância do centro ao vértice mais próximo.

Gabarito:

Resolução:

a) O segmento AK, corresponde a altura do triângulo equilátero ABC, sendo:

$AK = frac{sqrt{3}cdot l}{2} = frac{sqrt{3}cdot (2sqrt{3})}{2} = 3$

O ponto G é o baricentro do triângulo ABC, assim:

$AG = frac{2}{3}cdot AK =frac{2}{3}cdot 3 = 2$

O ponto D é o baricentro do triângulo equilátero AIJ, dessa forma:

$AD = 2cdot DH = 2cdot r$

Logo:

$AD + DH + HG = AG$

$2r + r + r = 2$

$r = frac{1}{2}$

b) A área a ser calculada, é equivalente à área do triângulo ABC subtraído da área de 4 circunferências, portanto:

$left ( frac{BCcdot AK}{2} ight ) - 4pi r^2 =$

$= left ( frac{2sqrt{3}cdot 3}{2} ight ) - 4pi left ( frac{1}{2} ight )^2 =$

$= 3sqrt{3}- pi$

c) Traçando os segmentos IK e JK, construímos 4 triângulos retângulos iguais, e conseguimos perceber que a distância do centro a qualquer um dos novos vértices será a mesma, portanto temos:

$BF = EC = AD = 2r = 2cdotleft ( frac{1}{2} ight ) = 1$

Questão 10

ITA 2011

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