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Questão 184

ITA 2012
Física

[ITA 2012 - 1 FASE] Apoiado sobre patins numa superfície horizontal sem atrito, um atirador dispara um projétil de massa m com velocidade v contra um alvo a uma distância d. Antes do disparo, a massa total do atirador e seus equipamentos é M. Sendo vs a velocidade do som no ar e desprezando a perda de energia em todo o processo, quanto tempo após o disparo o atirador ouviria o ruído do impacto do projétil no alvo?

A

frac{d(v_s+v)(M-m)}{v(M.V_s-m(v_s +v)}

B

frac{d(v_s +v)(M+m)}{M(M.v_s +m(v_s+v))}

C

frac{d(v_s -v )(M+m)}{v(M.v_s +m(v_s +v))}

D

frac{d(v_s +v)(M-m)}{v(M.v_s -m(v_s -v))}

E

frac{d(v_s -v)(M-m)}{v(M.v_s +m(v_s +v))}

Gabarito:

frac{d(v_s+v)(M-m)}{v(M.V_s-m(v_s +v)}



Resolução:

Após o disparo, até chegar no alvo, o projétil percorre uma distância d em um tempo Delta t_{1} com velocidade v, tal que:

d = v Delta t_{1}

Delta t_{1} = frac{d}{v}

Entretanto, nesse mesmo intervalo de tempo, o atirador irá percorrer uma distância x em sentido contrário devido à conservação da quantidade de movimento. Isto posto, vamos encontrar a velocidade v' do atirador após o disparo:

Q_{antes} = Q_{depois}

0 = mv - (M-m)v

v = frac{mv}{(M-m)}

Portanto, a distância x pode ser encontrada, pois:

x = v cdot Delta t_{1}

x = frac{mv}{(M-m)} cdot frac{d}{v}

oxed {x = frac{md}{(M-m)}}

Após atingir o alvo, temos que o som irá percorrer uma distância D até chegar no atirador. Essa distância D equivale à distância d mais a distância x percorrida na ida do projétil mais uma distância y, referente à distância percorrida pelo atirador enquanto o som movia-se por d + x. Dessa forma, D = d + x + y.

Essa distância y será percorrida pelo atirador em um intervalo de tempo Delta t_{2} com velocidade v'. 

y = v cdot Delta t_{2}

y = frac{mV}{M-m} cdot Delta t_{2}

Nesse intervalo de tempo Delta t_{2} o som irá percorrer a distância d + x + y, isto posto:

d+x+y = V_{s} cdot Delta t_{2}

Substituindo:

d + frac{md}{M-m} + frac{mV}{M-m} cdot Delta t_{2} = V_{s} cdot Delta t_{2}

Multiplicando tudo por (M-m):

d(M-m) + md + mVDelta t_{2} = V_{s} cdot Delta t_{2} (M-m)

V_{s} Delta t_{2} (M-m) - mVDelta t_{2} = d(M-m) + md

Delta t_{2} [V_{s}(M-m)-mV] = d[(M-m)+m]

Delta t_{2} = frac{d[(M-m)+m]}{V_{s}(M-m)-mV}

oxed {Delta t_{2} = frac{dM}{V_{s}(M-m)-mV}}

O tempo total de viagem do som será dado, portanto, pela expressão resultante da seguinte equação:

T = Delta t_{1} + Delta t_{2}

T = frac{d}{V} + frac{dM}{(M-m)V_{s} - mV}

T = frac{d[(M-m)V_{s}-mV] +VdM}{[(M-m)V_{s}-mV]V}

T = frac{d {[(M-m)V_{s}-mV]+VM}}{[(M-m)V_{s}-mV]V}

T = frac{d(MV_{s}-mV_{s}-mV)+VM}{(MV_{s}-mV_{s}-mV)V}

T = frac{d[M(V_{s}+V)-m(V_{s}+V)]}{V[MV_{s}-m(V_{s}+V)]}

oxed {T = frac{d[(V_{s}+V)(M-m)]}{V[MV_{s}-m(V_{s}+V)]}}

 

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