Questão 186

ITA 2012

Física

[ITA 2012 - 1 FASE] Considere uma rampa plana, inclinada de um ângulo θ em relação à horizontal, no início da qual encontra-se um carrinho. Ele então recebe uma pancada que o faz subir até uma certa distância, durante o tempo t_s, descendo em seguida até sua posição inicial. A “viagem” completa dura um tempo total t. Sendo μ o coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a rampa, a relação t/t_s é igual a

$1+sqrt{( an heta + mu)/| an heta - mu|}$

$1+sqrt{(cos heta + mu)/|cos heta - mu|}$

$1+sqrt{(sin heta + mu)/|sin heta - mu|}$

$1 - sqrt{( an heta + mu)/| an heta - mu|}$

Gabarito:

$1+sqrt{( an heta + mu)/| an heta - mu|}$

Resolução:

Na subida a desaceleração $gamma$ s do conjunto é dada pela componente do peso, ou seja mgsen $heta$ , somada com o atrito.

R = m * $gamma$ s

mgsen $heta$ + $mu$ mgcos $heta$ = m* $gamma$ s

$gamma$ s= g(sen $heta$ + $mu$ cos $heta$ )

Para que o corpo desça, temos

sen $heta$ > $mu$ cos $heta$

Analogamente, na descida temos

R = m * $gamma$ d

mgsen $heta$ - $mu$ mgcos $heta$ = m* $gamma$ d

$gamma$ d= g(sen $heta$ - $mu$ cos $heta$ )

Sendo d a distância percorrida na subida e na descida, temos :

$0 = v_{0} - gamma_{s}t_{s}$

$v = 0 + gamma _{D} (t - t_{s})$

$0^{2} = v_{0}^{2} - 2gamma_{s}cdot d$

$v^{2} = 0^{2} + 2gamma_{D} cdot d$

Partindo dessas equações:

$frac{v_{0}}{v} = frac{ gamma _{s} cdot t_{s}}{gamma_{D} (t-t_{s})}$

$frac{v_{0}^{2}}{v^{2}} = frac{ 2gamma _{s} cdot d}{2gamma_{D} d}$

$frac{gamma _{s} cdot t_{s}}{ gamma_{D}(t - t_{s})} = sqrt{frac{gamma _{s}}{gamma _{D}}}$

$sqrt{frac{gamma _{s}}{gamma _{D}}} = frac{t_{s}}{t - t_{s}}$

$t_{s} (sqrt{gamma_{s} + sqrt{gamma _{D}}}) = t sqrt{gamma _{D}}$

$frac{t}{t_{s}} = 1+ sqrt{frac{gamma _{s}}{gamma _{D}}}$

Substituindo $gamma _{s}$ em $gamma _{D}$ :

$frac{t}{t_{s}} = 1 + sqrt{frac{g(sen heta + mu cos heta)}{g(sen heta - mu cos heta)}}$

$frac{t}{t_{s}} = 1 + sqrt{frac{tg heta + mu}{tg heta - mu}}$

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