Questão 195

ITA 2012

Física

[ITA 2012 - 1 FASE] Em uma superfície líquida, na origem de um sistema de coordenadas encontra-se um emissor de ondas circulares transversais. Bem distante dessa origem, elas têm a forma aproximada dada por h₁ (x, y, t) = h₀ sen (2π(r / λ – ft)), em que λ é o comprimento de onda, f é a frequência e r, a distância de um ponto da onda até a origem. Uma onda plana transversal com a forma h₂ (x, y, t) = h₀ sen (2π(x / λ – ft)) superpõe-se à primeira, conforme a figura. Na situação descrita, podemos afirmar, sendo o conjunto dos números inteiros que:

nas posições $(y^{2}_{P}/(2nlambda )-nlambda /8, y_{P})$ as duas ondas estão em fase se n ∈ .

nas posições $(y^{2}_{P}/(2nlambda )-nlambda /2, y_{P})$ as duas ondas estão em oposição de fase se n ∈ e n ≠ 0.

nas posições as duas ondas estão em oposição de fase se n ∈ e n ≠ 0.

nas posições $(y^{2}_{P}/((2n+1)lambda )-(n+1/2)lambda /2, y_{P})$ as duas ondas estão em oposição de fase se n ∈ .

na posição a diferença de fase entre as ondas é de 45°.

Gabarito:

nas posições $(y^{2}_{P}/((2n+1)lambda )-(n+1/2)lambda /2, y_{P})$ as duas ondas estão em oposição de fase se n ∈ .

Resolução:

Primeiramente, devemos lembrar que no sistema de coordenadas polares:

$oxed {r = sqrt{x_{p}^{2}+y_{p}^{2}}}$

Agora, vamos fazer a sobreposição de duas ondas, somando-as:

$h(x,y,t) = h_{1}(x,y,t) + h_{2}(x,y,t)$

$h(x,y,t) = h_{0}sen[2pi(frac{r}{lambda})-ft] + h_{0}sen[2pi(frac{x}{lambda})-ft]$

Utilizando a propriedade de soma dos senos: $sen A + sen B = 2sen(frac{A+B}{2}) cdot cos (frac{A-B}{2})$

$h(x,y,t) = h_{0} cdot 2sen[2pi(frac{r+x}{lambda})-ft] cdot cos[2pi(frac{r-x}{2lambda})]$

Em oposição de fase temos uma interferência destrutiva. Assumindo que realmente seja destrutiva, temos que:

$h(x_{p}, y_{p}, t ) = 0$

Portanto, basta que o termo independente de t seja nulo para que essa condição seja satisfeita:

$cos[2pi(frac{r-x}{2lambda})] = 0$

$2pi cdot (frac{r-x}{2lambda}) = (2n+1) cdot frac{pi}{2}$

$r = x_{p} + frac{(2n+1)lambda }{2}$

Substituindo r:

$sqrt{x_{p}^{2}+y_{p}^{2}} = x_{p} + frac{(2n+1)lambda}{2}$

$x_{p}^{2} + y_{p}^{2} = x_p^{2} + 2x_{p} (frac{2n+1}{2})lambda + frac{(2n+1)^{2}lambda^{2}}{2^{2}}$

$y_{p}^{2} = 2x_{p} (frac{2n+1}{2})lambda + frac{(2n+1)^{2}lambda^{2}}{2^{2}}$

$x_{p}(2n+1) lambda = y_{p}^{2} - frac{(2n+1)^{2}lambda ^{2}}{2^{2}}$

$x_{p} = frac{y_{p}^{2}}{ (2n+1) lambda } - (n + frac{1}{2}) cdot frac{lambda}{2}$

O ponto P de interferência destrutiva será: $(frac{y_{p}^{2}}{ (2n+1) lambda } - (n + frac{1}{2}) cdot frac{lambda}{2}, y_{p})$

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