Questão 4

ITA 2012

Física

(ITA 2012 - 2 fase - Questão 4)

A figura mostra um sistema formado por dois blocos, A e B, cada um com massa m. O bloco A pode deslocar-se sobre a superfície plana e horizontal onde se encontra. O bloco B está conectado a um fio inextensível fixado à parede, e que passa por uma polia ideal com eixo preso ao bloco A. Um suporte vertical sem atrito mantém o bloco B descendo sempre paralelo a ele, conforme mostra a figura. Sendo $mu$ o coeficiente de atrito cinético entre o bloco A e a superfície, g a aceleração da gravidade, e $heta =30^{circ}$ mantido constante, determine a tração no fio após o sistema ser abandonado do repouso.

Gabarito:

Resolução:

O primeiro passo é analisar as forças em cada bloco, da figura sabemos que a aceleração do sistema é para a esquerda enquanto o bloco "B" cai ao longo da vertical.

Depois vamos aplicar o princípio fundamental da dinâmica em cada bloco:

Em B:

$P_{B} - T = m_{B}a_{y}$ 1

$N_{B} = m_{B} a_{x}$ 2

Em A:

$Tcos heta - N_{B} - f_{at} = m_{A} a_{x}$ 3

$Tsen heta +N_{A} = P_{A} + T$ 4

$f_{at} = mu N_{A}$ 5

Somando 2 e 3:

$N_{B} +Tcos heta -N_{B} - f_{at} = ma_{x} + ma_{x}$

$Tcos heta - f_{at} = 2ma_{x}$

Substituindo 5:

$Tcos heta - mu N_{A} = 2ma_{x}$ 6

Isolando N_Ana equação 4:

$N_{A} = P_{A} +T - Tsen heta$ 7

Substituindo 7 em 6:

$Tcos heta - mu(P_{A} + T - Tsen heta) = 2ma_{x}$

$T frac{sqrt{3}}{2} - mu mg - mu (T- frac{T}{2}) = 2ma_{x}$

$T frac{sqrt{3}}{2} - mu mg - frac{1}{2}mu T = 2ma_{x}$

$frac{T}{2} ( sqrt{3}-mu) = 2ma_{x} + mu mg$ 8

Queremos o valor da força T então para obtê-la, a partir de (8), será necessário achar o valor de a_x. Começando pela equação 1:

$P_{B} - T = m_{B} a_{y}$

$mg - T = ma_{y}$

Dividindo a equação por m:

$a_{y} = g - frac{T}{m}$ 9

Precisamos relacionar as acelerações em x e y. Para isso, utilizaremos dos vínculos geométricos:

Então como $Delta x = Delta y cdot cos heta$ sabemos que $a_{x} = a_{y} cdot cos heta$ , isto posto:

$a_{x} = frac{sqrt{3}}{2} a_{y}$ 10

Por meio de 8 e 9 temos:

$a_{x} = frac{sqrt{3}}{2} cdot (g - frac{T}{m})$ 11

Substituindo 11 em 8:

$frac{T}{2} (sqrt{3}-mu) = 2m(frac{sqrt{3}}{2}(g-frac{T}{m})) +mu mg$

$sqrt{3} mg - sqrt{3} T + mu mg = frac{T}{2}sqrt{3} - mu frac{T}{2}$

$(sqrt{3}+mu) mg = frac{3}{2} sqrt{3} T - mu frac{T}{2}$

$(sqrt{3} + mu) mg = frac{T}{2} (3sqrt{3}-mu)$

$oxed {T = frac{2(sqrt{3}+mu)mg}{(3sqrt{3}-mu)}}$

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