Questão 5

ITA 2012

Física

(ITA 2012 - 2 fase - Questão 5)

Átomos neutros ultrafrios restritos ´ a um plano s˜ao uma realidade experimental atual em armadilhas magneto-ópticas. Imagine que possa existir uma situa¸c˜ao na qual átomos do tipo A e B estão restritos respectivamente aos planos α e β, perpendiculares entre si, sendo suas massas tais que mA = 2mB. Os átomos A e B colidem elasticamente entre si n˜ao saindo dos respectivos planos, sendo as quantidades de movimento iniciais, $vec{p_{A}} e vec{p_{B}}$ as finais, $vec{q_{A}} e vec{q_{B}}$ . $vec{p_{A}}$ forma um angulo θ com o plano horizontal e $vec{p_{B}}$ = 0. Sabendo que houve transferência de momento entre A e B, qual e a razão das energias cinéticas de B e A apos a colisão?

Gabarito:

Resolução:

Vamos chamar de K as energias cinéticas depois da colisão. Sabemos que o momento linear é calculado por:

$p = mv Rightarrow v = frac{p}{m}$

$K = frac{mv^{2}}{2}$

Substituindo v em K:

$oxed {K = frac{p^{2}}{2m}}$

Assim, podemos equacionar:

$frac{K_{B}}{K_{A}} = frac{frac{q_{B}^{2}}{2m_{B}}}{frac{q_{A}^{2}}{2m_{A}}}$

$oxed {frac{K_{B}}{K_{A}} = 2 cdot frac{q_{B}^{2}}{q_{A}^{2}}}$

Vamos guardar essa expressão para depois. Sabemos que em colisões perfeitamente elásticas há conservação da energia cinética:

$K_{antes} = K_{depois}$

$frac{p_{A}^{2}}{2m_{A}} = frac{q_{A}^{2}}{2m_{A}} + frac{q_{B}^{2}}{2m_{B}}$

Lembrando que 2mB = mA:

$frac{p_{A}^{2}}{2m_{A}} = frac{q_{A}^{2}}{2m_{A}} + frac{q_{B}^{2}}{m_{A}}$

$oxed {p_{A}^{2} = q_{A}^{2}+2q_{B}^{2}} (I)$

Agora analisando os vetores da quantidade de movimento no diagrama acima, é possível fazer a sua conservação nos eixos x e y:

$Delta vec{p} = 0$

Em x:

$q_{B} - q_{A}cos alpha = p_{A}cos heta$

Em y:

$q_{A} senalpha = p_{A} sen heta$

$left{egin{matrix} q_{A}cosalpha = q_{B} - p_{A}cos heta \ q_{A} senalpha = p_{A}sen heta & end{matrix} ight.$

Elevando ambas as equações ao quadrado:

$left{egin{matrix} q_{A}^{2}cos^{2}alpha = q_{B}^{2} - 2p_{A} q_{B}cos heta+p_{A} ^{2}cos^{2} heta \ q_{A}^{2} sen^{2}alpha = p_{A}^{2}sen^{2} heta & end{matrix} ight.$