Questão 7

ITA 2012

Física

(ITA 2012 - 2 fase - Questão 7)

O momento angular é uma grandeza importante na Física. O seu modulo é definido como L = rp sen θ, em que r é o modulo do vetor posição com relação à origem de um dado sistema de referência, p o modulo do vetor quantidade de movimento e θ o angulo por eles formado. Em particular, no caso de um satélite girando ao redor da Terra, em órbita elíptica ou circular, seu momento angular (medido em rela¸c˜ao ao centro da Terra) é conservado. Considere, então, três satélites de mesma massa com órbitas diferentes entre si, I, II e III, sendo I e III circulares e II elíptica e tangencial a I e III, como mostra a figura. Sendo LI , LII e LIII os respectivos módulos do momento angular dos satélites em suas órbitas, ordene, de forma crescente,LI , LII e LIII. Justifique com equações a sua resposta.

Gabarito:

Resolução:

Para órbitas circulares calcular o momento angular é mais fácil, pois este é constante durante toda a órbita em função do raio que é constante. Podemos escrever a força de atração gravitacional como resultante centrípeta para obter um valor para a velocidade. Considere uma órbita circular qualquer de raio r:

$frac{GmM}{r^{2}} = frac{mv^{2}}{r}$

$v = sqrt{frac{GM}{r}}$

Sabemos que o momento angular é calculado por $L = rpsen heta$ , porém no caso de órbitas circulares $heta = 90 ^{circ}$ , logo: $L = rp = rmv$

Portanto, para órbitas circulares o momento angular pode ser obtido por:

$L = rm sqrt{frac{GM}{r}}$

$oxed {L = m sqrt{GMr}}$

Vamos guardar esse resultado para podermos comparar posteriormente.

Agora, vamos analisar a órbita elíptica tendo em mente que $r_{2} > r_{1}$ .

Como o momento angular se conserva, temos que:

$r_{1} v_{1} m = r_{2} v_{2} m$

Perceba que o ângulo dos pontos analisados também é 90º, por isso o seno não foi colocado na equação.

$r_{1} v_{1} = r_{2} v_{2}$

$oxed {v_{2} = v_{1} cdot frac{r_{1}}{r_{2}}} (I)$

Pelo princípio da conservação da energia mecânica:

$frac{mv_{1}^{2}}{2} - frac{GMm}{r_{1}} = frac{mv_{2}^{2}}{2} - frac{GMm}{r_{2}}$

$frac{v_{1}^{2}}{2} - frac{GM}{r_{1}} = frac{v_{2}^{2}}{2} - frac{GM}{r_{2}}$

$frac{v_{1}^{2}}{2} - frac{v_{2}^{2}}{2} = frac{GM}{r_{1}} - frac{GM}{r_{2}}$

$frac{v_{1}^{2}}{2} - frac{v_{2}^{2}}{2} = GM cdot (frac{1}{r_{1}} - frac{1}{r_{2}})$

Substituindo (I):

$frac{v_{1}^{2}}{2} - frac{(v_{1}cdot frac{r_{1}}{r_{2}})^{2}}{2} = GM cdot (frac{1}{r_{1}} - frac{1}{r_{2}})$

$frac{v_{1}^{2}}{2} - frac{(v_{1}^{2}cdot frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}})}{2} = GM cdot (frac{1}{r_{1}} - frac{1}{r_{2}})$

$frac{v_{1}^{2}}{2} - frac{v_{1}^{2}r_{1}^{2}}{2r_{2}^{2}} = GM cdot (frac{1}{r_{1}} - frac{1}{r_{2}})$

$v_{1}^{2} - frac{v_{1}^{2}r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} = 2GM cdot (frac{1}{r_{1}} - frac{1}{r_{2}})$

$v_{1}^{2} (1 - frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}) = 2GM cdot (frac{1}{r_{1}} - frac{1}{r_{2}})$

$v_{1}^{2} (frac{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}) = 2GM cdot (frac{r_{2} -r_{1}}{r_{1}r_{2}})$

$v_{1}^{2} = 2GM cdot (frac{r_{2} -r_{1}}{r_{1}r_{2}}) cdot (frac{r_{2}^{2}}{(r_{2}+r_{1})(r_{2}-r_{1})})$

$v_{1}^{2} = 2GM cdot (frac{1}{r_{1}}) cdot (frac{r_{2}}{(r_{2}+r_{1})})$

$v_{1}^{2} =frac{2r_{2}}{r_{1}(r_{1}+r_{2})} GM$

$oxed {v_{1} =sqrt{frac{2r_{2}}{r_{1}(r_{1}+r_{2})} GM}}$

Portanto:

$L = r_{1}mv_{1}$

$L = m r_{1} cdot sqrt{frac{2r_{2}}{r_{1}(r_{1}+r_{2})} GM}$

$oxed {L = msqrt{frac{2r_{1}r_{2}GM}{r_{2}+r_{1}}}}$

Agora devemos comparar. Sabendo que $r_{2} > r_{1}$ concluímos que: $L_{III} > L_{I}$

Para descobrirmos a relação entre a órbita elíptica e as circulares vamos partir de suposições.

Vamos supor que $L_{I} > L_{II}$

$msqrt{GMr_{1}} > msqrt{frac{2r_{1}r_{2}GM}{r_{2}+r_{1}}}$

$GMr_{1} > frac{2r_{1}r_{2}GM}{r_{2}+r_{1}}$

$r_{1}^{2} +r_{1}r_{2} > 2r_{1}r_{2}$

$r_{1}^{2} > r_{1}r_{2}$

$r_{1} > r_{2}$

Essa sentença contraria a suposição inicial de que $r_{2} > r_{1}$ , portanto é FALSA! Dessa forma, concluímos que: $L_{II} > L_{I}$

Analogamente, vamos supor que $L_{III} > L_{II}$ :

$msqrt{GMr_{2}} > msqrt{frac{2r_{1}r_{2}GM}{r_{2}+r_{1}}}$

$GMr_{2} > frac{2r_{1}r_{2}GM}{r_{2}+r_{1}}$

$r_{2} > r_{1}$

Verdadeiro! Portanto, $L_{III} > L_{II}$

Juntando as sentenças, concluímos que: $L_{III} > L_{II} >L_{I}$

Questão 7

ITA 2012

Questões relacionadas

Questão 182

Questão 183

Questão 184

Questão 185