Questão 3

ITA 2012

Matemática

[ITA 2012 - 1 FASE] Sejam z = n²(cos 45° + i sen 45°) e w = n(cos 15°+ i sen 15°), em que n é o menor inteiro positivo tal que (1 + i)ⁿ é real. Então, é igual a

Gabarito:

Resolução:

$(1+i)^{n}=(sqrt{2})^{n}[cos(n.45)+i.sen(n.45) ]$

Tendo em vista que sen(4 . 45°) = 0, o menor número inteiro positivo n que torna $(1+i)^{n}$ real é 4.

$frac{z}{w}= frac{n^{2}.(cos45+i.sen45)}{n.(cos15+i.sen15)}$

$n(cos30+isen30)$ =

$4.(frac{sqrt{3}}{2}+i.frac{1}{2})=$

$2.(sqrt{3}+i)$

Gabarito: b)

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