Questão 4

ITA 2013

Física

[ITA - 1 FASE - 2013] Num certo experimento, três cilindros idênticos encontram-se em contato pleno entre si, apoiados sobre uma mesa e sob a ação de uma força horizontal F, constante, aplicada na altura do centro de massa do cilindro da esquerda, perpendicularmente ao seu eixo, conforme a figura. Desconsiderando qualquer tipo de atrito, para que os três cilindros permaneçam em contato entre si, a aceleração $a$ provocada pela força deve ser tal que

g/left ( 3sqrt{3}
ight ) leq a leq g/sqrt{3}

Gabarito: g/left ( 3sqrt{3}
ight ) leq a leq g/sqrt{3}

Resolução:

Observe o diagrama de forças que rege o sistema em movimento sob uma aceleração a impressa por uma força F nos 3 blocos como se estes fossem um único de massa 3m:

Pela Terceira Lei de Newton sabemos que:

$F_{CB} = F_{BC}$

$F_{AB} = F_{BA}$

$F_{CA} = F_{AC}$

Pela Segunda Lei de Newton temos que o sistema todo tem uma aceleração a impressa pela força F, tal que:

$F = 3m cdot a$

Agora precisamos analisar as situações de aceleração máxima e mínima que esse sistema pode possuir. A aceleração máxima será quando o cilindro A for empurrado tão rapidamente que fará o cilindro C "descolar" do cilindro B, de tal maneira que teremos as forças de contato entre C e B tendendo a zero (nulas para critério de cálculos).

Portanto, vamos equacionar as forças em C nessa situação:

Sabemos que em y a força resultante deve ser nula, pois não temos aceleração nessa direção:

$F_{AC} cdot sen 60 ^{circ} = mg$

No eixo x temos que a aceleração resultante é igual a a:

$F_{AC} cdot cos 60 ^{circ} = ma$

Dividindo ambas as equações:

$frac{F_{AC} cdot sen 60^{circ}}{F_{AC} cdot cos 60 ^{circ}} = frac{mg}{ma}$

$tg 60^{circ} = frac{g}{a_{max}}$

$a_{max} = frac{g}{tg 60^{circ}}$

$a_{max} = frac{g}{sqrt{3}}$

Agora, analisaremos a situação onde a aceleração é mínima. Para isso, devemos imaginar um valor de aceleração tão pequeno que seja incapaz de manter o cilindro C sobre os outros dois cilindros. Assim sendo, as forças de contato entre A e B tendem a zero. Podemos imaginar que o cilindro C irá "afastar" os dois cilindros inferiores e "cair" entre os mesmos. Portanto:

$F_{BA} = F_{AB} = 0$