Questão 274

ITA 2014

Física

(ITA 2014) Um sistema binário é formado por duas estrelas esféricas de respectivas massas m e M, cujos centros distam d entre si, cada qual descrevendo um movimento circular em torno do centro de massa desse sistema. Com a estrela de massa m na posição mostrada na figura, devido ao efeito Doppler, um observador T da Terra detecta uma raia do espectro do hidrogênio, emitida por essa estrela, com uma frequência f ligeiramente diferente da sua frequência natural f₀. Considere a Terra em repouso em relação ao centro de massa do sistema e que o movimento das estrelas ocorre no mesmo plano de observação. Sendo as velocidades das estrelas muito menores que c, assinale a alternativa que explicita o valor absoluto de (f – f₀)/f₀. Se necessário, utilize (1 + x)ⁿ ≅ 1 + nx para x 1.

$sqrt{GM^{2}/left [ d(M + m)c^{2} ight ]}$

$sqrt{Gm^{2}sen^{2}alpha /left [ d(M + m)c^{2} ight ]}$

$sqrt{Gm^{2}cos^{2}alpha /left [ d(M + m)c^{2} ight ]}$

$sqrt{GM^{2}sen^{2}alpha /left [ d(M + m)c^{2} ight ]}$

$sqrt{GM^{2}cos^{2}alpha /left [ d(M + m)c^{2} ight ]}$

Gabarito:

$sqrt{GM^{2}cos^{2}alpha /left [ d(M + m)c^{2} ight ]}$

Resolução:

$x_{CM}=frac{m.x_{1}+M.x_{2}}{M+m}$

$0=frac{m.x_{1}+M.(x_{1}-d)}{M+m}$

$m.x_{1}+M.(x_{1}-d)=0$

$m.x_{1}+M.x_{1}=M.dRightarrow x_{1}=frac{M.d}{M+m}$

$F_{G}=F_{cp}$

$frac{G.M.m}{d^{2}}=frac{m.V_{1}^{2}}{frac{M.d}{M+m}}=frac{m.V_{1}^{2}}{M.d}.(M+m)$

$V_{1}^{2}=frac{G.M}{d}.frac{M}{M+m}=frac{GM^{2}}{d.(M+m)}$

$V_{1}=sqrt{frac{G.M^{2}}{d.(M+m)}}$

$V_{ap}=V_{1}cos alpha=sqrt{frac{G.M^{2}}{d.(M+m)}}.cos alpha$

4)Efeito Doppler, equação:

$frac{f}{V}=frac{f_{0}}{V-V_{F}}$

$frac{f}{f_{0}}=frac{V}{V-V_{F}}$

$frac{f-f_{0}}{f_{0}}=frac{V}{V-V_{F}}-1$

$frac{f-f_{0}}{f_{0}}=frac{V_{F}}{V-V_{F}}$

$frac{f-f_{0}}{f_{0}}=frac{sqrt{frac{G.M^2}{d.(M+m)}} cos alpha}{c}$

$frac{f-f_{0}}{f_{0}}=sqrt{frac{G.M^{2. cos^{2}alpha}}{d.(M+m).c^{2}}}$

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