Questão 30

ITA 2014

Física

(ITA – 2014) (2ª fase)

Um recipiente cilíndrico vertical contém em seu interior três esferas idênticas de mesmo peso P que são tangentes entre si e também à parede interna do recipiente. Uma quarta esfera, idêntica às anteriores, é então sobreposta às três esferas como ilustrado em pontilhado.

Determine as respectivas intensidades das forças normais em função de P que a parede do recipiente exerce nas três esferas.

Gabarito:

Resolução:

Assim:

$sen(alpha)= frac{frac{2R. sqrt 3}{3}}{2R}= frac{sqrt 3}{3}$

Sabendo que:

$\ sen^2(alpha)+ cos^2(alpha)=1 Rightarrow frac{3}{9}+cos^2(alpha)=1 \ \ cos^2(alpha)=1 - frac{1}{3}Rightarrow cos(alpha)= frac{sqrt 6}{3}$

Assim analisando as forças temos que:

$F_y = F.cos(alpha)Rightarrow F_y = F . frac{sqrt 6}{3}$

Analisando o equilíbrio vertical temos que as três esferas devem permanecer em equilíbrio com o peso:

$3F_y=P Rightarrow 3.F. frac{sqrt 6}{3}=P Rightarrow F= frac{P}{sqrt 6} = frac{P. sqrt 6}6$

As três esferas de baixo recebem a força da esfera de cima que tende a separá-las logo elas o contato dessas esferas de baixo uma com as outras é praticamente zero, tendo apenas as forças normais (Nx e Ny) com o cilindro. e a força F da esfera de cima, logo analisando o equilíbrio horizontal temos (para cada uma das esferas)

$N_x =F_x Rightarrow N_x = F. sen(alpha)Rightarrow N_x = frac{P. sqrt 6}{6} cdot frac{sqrt 3}{3}Rightarrow N_x = frac{P sqrt 2}{6}$

Agora para o equilíbrio vertical (novamente para cada esfera):

$N_y =F_y+P Rightarrow N_y = frac{P}{3} + P Rightarrow N_y= frac{4P}{3}$

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